簡単な無限級数の積分表示
はじめに
2回目の投稿となりました(^ ^)
早速ですが今回の問題です.
ぜひ証明にチャレンジしてみてください！
次の無限級数を積分表示せよ.$a\geqq 1 ,b>0$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{an+b} $$
前回に比べれば良さげな内容かもしれませんね！
証明もだいぶ面白い感じになっている(はずな)ので楽しんで頂けると幸いです!
本題
まずは次の式を示しましょう!
$$ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{a+b-1}(-x^a)^n}{x^a+1}\,dx=0$$
なぜこんなものを？という感じですが...とりあえず示しましょう.
$$\int_{0}^{1}\dfrac{x^{a+b-1}(-x^a)^n}{x^a+1}\,dx=(-1)^n\int_{0}^{1}\dfrac{x^{a+b-1}(x^a)^n}{x^a+1}\,dx$$
$a+b-1$は条件より,必ず正である.よって,積分区間で$0\leqq x^{a+b-1}\leqq 1$全てに$x=0$を代入して左辺,単調増加より右辺ができる.
$$0<\int_{0}^{1}\dfrac{x^{a+b-1}(x^a)^n}{x^a+1}\,dx<\int_{0}^{1}\dfrac{(x^a)^n}{x^a+1}\,dx$$
$$\int_{0}^{1}\dfrac{(x^a)^n}{x^a+1}\,dx<\int_{0}^{1}x^{an}\,dx=\dfrac{1}{an+1}$$
$n\to\infty$すると,はさみうちの原理より補題1を得る.
$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{an+b}=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{b-1}}{x^a+1}\,dx \quad(a\geqq1,b>0)$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{an+b}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{ak+b}$$
とする.
$$ \sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{ak+b}=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2a+b}-\dfrac{1}{3a+b}+\cdots +(-1)^n\dfrac{1}{an+b}$$
等式$(m\neq-1)$
$$\dfrac{1}{m+1}=\int_{0}^{1}x^m\,dx$$
より,
$$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{ak+b}=\int_{0}^{1}x^{b-1}-x^{a+b-1}+x^{2a+b-1}-x^{3a+b-1}+\cdots+(-1)^n x^{an+b-1}\,dx=\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{n}x^{b-1}(-x^a)^k\,dx$$
右辺の被積分関数は初項が$x^{b-1}$公比が$-x^a$の等比数列の初項から第$n$項までの和である.
$$\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{n}x^{b-1}(-x^a)^k\,dx=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{b-1}+x^{a+b-1}(-x^a)^n}{x^a+1}\,dx=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{b-1}}{x^a+1}\,dx+\int_{0}^{1}\dfrac{x^{a+b-1}(-x^a)^n}{x^a+1}\,dx$$
補題1より,$n\to\infty$すると,
$$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{an+b}=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{b-1}}{x^a+1}\,dx $$
が成り立つ.
いかがでしたか？
だいぶ簡単めな記事で刺激が足りない方のために一応問題を!
次の無限級数の和を求めよ.
$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{n-1}{3n(2n+1)}$$
頑張って解いてみてください！
(部分分数分解と$k=1$からの無限和で$b=0$のときの証明もできるはずです!)
