約数関数関連の不等式

$$\prod _{d|n}{d}^p=\prod _{d|n}{\left(\frac{n}{d}\right)}^p$$
に注意すると,
$${\left(\prod _{d|n}{d}^p\right)}^2=\prod _{d|n}{d}^p\prod _{d|n}{\left(\frac{n}{d}\right)}^p=\prod _{d|n}{d}^p{\left(\frac{n}{d}\right)}^p=\prod _{d|n}{n}^p=n^{p{\sigma }_0(n)}$$

より,$\prod _{d|n}{d}^p>0$に注意すると,
$$\prod _{d|n}{d}^p=\sqrt{n^{p{\sigma }_0(n)}}$$

を得る.

約数を大きい順に並べた数列は単調減少列となるから,Chebyshev's sum inequalityより,
$$\frac{1}{{\sigma }_0(n)}\sum _{d|n}{d}^p\frac{1}{{\sigma }_0(n)}\sum _{d|n}{d}^q\le \frac{1}{{\sigma }_0(n)}\sum _{d|n}{d}^{p+q}$$
が成り立つ.
両辺に${\sigma }_0(n{)}^2$を乗じて,

$${\sigma }_p(n){\sigma }_q(n)\le {\sigma }_0(n){\sigma }_{p+q}(n)$$

を得る.

$n$の正の約数を$p$乗したものの集合を$D^p$とすると,
$$\mathrm{Cov}(D^p,D^q)=\mathrm{E}(D^p{D}^q)-\mathrm{E}(D^p)\mathrm{E}(D^q)$$

$D^p,D^q$の要素をそれぞれ大きい順に並べたものとすると,明らかに$\mathrm{Cov}(D^p,D^q)\ge 0$だから,

$$\mathrm{E}(D^p{D}^q)-\mathrm{E}(D^p)\mathrm{E}(D^q)\ge 0$$

両辺に${\sigma }_0(n{)}^2$を乗じて,

$${\sigma }_p(n){\sigma }_q(n)\le {\sigma }_0(n){\sigma }_{p+q}(n)$$

を得る.

$$\sum _{d|n}{d}^p=\sum _{d|n}{\left(\frac{n}{d}\right)}^p$$
に注意すると,

$$n^p{\sigma }_{-p}(n)=n^p\sum _{d|n}{d}^{-p}=n^p\sum _{d|n}{\left(\frac{d}{n}\right)}^p=\sum _{d|n}{d}^p={\sigma }_p(n)$$

${\sigma }_p(n)$の項数が${\sigma }_0(n)$であることに注意すると,AM$\ge$GMと先に証明した公式1より,
$$\frac{{\sigma }_p(n)}{{\sigma }_0(n)}\ge \sqrt[{\sigma }_0(n)]{\prod _{d|n}{d}^p}=\sqrt[{\sigma }_0(n)]{\sqrt{n^{p{\sigma }_0(n)}}}=\sqrt{n^p}$$

また,${\sigma }_{q/2}(n)=\sum _{d|n}{d}^{q/2}\le \sum _{d|n}{n}^{q/2}=n^{q/2}{\sigma }_0(n)$だから,

$${\sigma }_0(n)\ge n^{-q/2}{\sigma }_{q/2}(n)$$

以上により,

$${\sigma }_p(n)\ge \sqrt{n^p}{\sigma }_0(n)\ge \sqrt{n^{p-q}}{\sigma }_{q/2}(n)$$
(等号成立条件は$p=q=0$)
を得る.

AM$\ge$HMより,

$$\frac{{\sigma }_p(n)}{{\sigma }_0(n)}\ge \frac{{\sigma }_0(n)}{{\sigma }_{-p}(n)}=\frac{{\sigma }_0(n)}{{\sigma }_p(n)/n^p}(\because \mathrm{公}\mathrm{式}3)$$

両辺に${\sigma }_p(n){\sigma }_0(n)(>0)$を乗じて,

$${\sigma }_p(n{)}^2\ge n^p{\sigma }_0(n{)}^2$$

$0<x\le y$のとき,$x\le y⟺\sqrt{x}\le \sqrt{y}$だから,

$${\sigma }_p(n)\ge \sqrt{n^p}{\sigma }_0(n)$$
(等号成立条件は$p=0$)
また,${\sigma }_{q/2}(n)=\sum _{d|n}{d}^{q/2}\le \sum _{d|n}{n}^{q/2}=n^{q/2}{\sigma }_0(n)$だから,

$${\sigma }_0(n)\ge n^{-q/2}{\sigma }_{q/2}(n)$$

以上により,

$${\sigma }_p(n)\ge \sqrt{n^p}{\sigma }_0(n)\ge \sqrt{n^{p-q}}{\sigma }_{q/2}(n)$$
(等号成立条件は$p=q=0$)
を得る.

対称性より,

$$\prod _{i=1}^r{\sigma }_{p_i}(n)=\sum _{d_1|n}\cdots \sum _{d_r|n}{d}_1^{p_1}\cdots d_r^{p_r}=\frac{1}{r!}\sum _{d_1|n}\cdots \sum _{d_r|n}\sum _{\tau }{d}_{\tau (1)}^{p_1}\cdots d_{\tau (r)}^{p_r}$$
($\tau$は$\{1,...,r\}$の置換)

Muirhead's Inequalityより,

$$\sum _{\tau }{d}_{\tau (1)}^{p_1}\cdots d_{\tau (r)}^{p_r}\le \sum _{\tau }{d}_{\tau (1)}^{\sum _{i=1}^r{p}_i}$$

だから,

$$\begin{array}{rl}\prod _{i=1}^r{\sigma }_{p_i}(n)& \le \frac{1}{r!}\sum _{d_1|n}\cdots \sum _{d_r|n}\sum _{\tau }{d}_{\tau (1)}^{p_1}\cdots d_{\tau (r)}^{p_r}\\ & \le \frac{1}{r!}\sum _{d_1|n}\cdots \sum _{d_r|n}\sum _{\tau }{d}_{\tau (1)}^{\sum _{i=1}^r{p}_i}\\ & =\frac{1}{r!}\sum _{d_1|n}\cdots \sum _{d_r|n}(d_1^{\sum _{i=1}^r{p}_i}(r-1)!+\cdots +d_r^{\sum _{i=1}^r{p}_i}(r-1)!)\\ & =(\frac{1}{r}\sum _{d_1|n}\cdots \sum _{d_r|n}{d}_1^{\sum _{i=1}^r{p}_i})\cdot r\\ & ={\sigma }_0(n{)}^{r-1}{\sigma }_{\sum _{i=1}^r{p}_i}(n)\end{array}$$

(等号成立条件は$p_1=...=p_r=0$)
を得る.

$r=1$のときは自明.
$r=2$のとき,${\sigma }_{p_1}(n){\sigma }_{p_2}(n)\le {\sigma }_0(n){\sigma }_{p_1+p_2}(n)...(\ast )$...公式2より成立.
$r=k$のとき,与不等式が成立すると仮定すると,$r=k+1$のとき
$$\prod _{i=1}^{k+1}{\sigma }_{p_i}(n)\le {\sigma }_0(n{)}^k{\sigma }_{\sum _{i=1}^{k+1}{p}_i}(n)$$
となることを示す.
$$\begin{array}{rl}\prod _{i=1}^{k+1}{\sigma }_{p_i}(n)& =\prod _{i=1}^k{\sigma }_{p_i}(n)\cdot {\sigma }_{p_{k+1}}(n)\\ & \le {\sigma }_0(n{)}^{k-1}{\sigma }_{\sum _{i=1}^k{p}_i}(n)\cdot {\sigma }_{p_{k+1}}(n)\\ & \le {\sigma }_0(n{)}^{k-1}{\sigma }_0(n){\sigma }_{\sum _{i=1}^{k+1}{p}_i}(n)(\because (\ast ))\\ & \le {\sigma }_0(n{)}^k{\sigma }_{\sum _{i=1}^{k+1}{p}_i}(n)\end{array}$$

$r=k+1$でも成立.
以上により,題意は示された.