約数関数関連の不等式

$$ \prod_{d|n}d^p=\prod_{d|n}\left(\frac nd\right)^p $$
に注意すると,
$$ \left(\prod_{d|n}d^p \right)^2 = \prod_{d|n}d^p\prod_{d|n}\left(\frac nd\right)^p = \prod_{d|n}d^p\left(\frac nd\right)^p = \prod_{d|n}n^p = n^{p \ \sigma_0(n)} $$

より,$\prod_{d|n}d^p>0$に注意すると,
$$ \prod_{d|n}d^p = \sqrt{n^{p \ \sigma_0(n)}} $$

を得る.

約数を大きい順に並べた数列は単調減少列となるから,Chebyshev's sum inequalityより,
$$ \frac{1}{\sigma_0(n)}\sum_{d|n}d^p\frac{1}{\sigma_0(n)}\sum_{d|n}d^q \leq \frac{1}{\sigma_0(n)}\sum_{d|n}d^{p+q} $$
が成り立つ.
両辺に$\sigma_0(n)^2$を乗じて,

$$ \sigma_p(n)\sigma_q(n) \leq \sigma_0(n)\sigma_{p+q}(n) $$

を得る.

$n$の正の約数を$p$乗したものの集合を$D^p$とすると,
$$ \Cov(D^p,D^q) = \E(D^p D^q)-\E(D^p)\E(D^q) $$

$D^p,D^q$の要素をそれぞれ大きい順に並べたものとすると,明らかに$\Cov(D^p,D^q)\geq0$だから,

$$ \E(D^p D^q)-\E(D^p)\E(D^q) \geq 0 $$

両辺に$\sigma_0(n)^2$を乗じて,

$$ \sigma_p(n)\sigma_q(n) \leq \sigma_0(n)\sigma_{p+q}(n) $$

を得る.

$$ \sum_{d|n}d^p=\sum_{d|n}\left(\frac nd\right)^p $$
に注意すると,

$$ n^p\sigma_{-p}(n) = n^p\sum_{d|n}d^{-p} = n^p\sum_{d|n}\left(\frac dn\right)^p = \sum_{d|n}d^p = \sigma_p(n) $$

$\sigma_p(n)$の項数が$\sigma_0(n)$であることに注意すると,AM$\geq$GMと先に証明した公式1より,
$$ \frac{\sigma_p(n)}{\sigma_0(n)} \geq \sqrt[\sigma_0(n)]{\prod_{d|n}d^p} = \sqrt[\sigma_0(n)]{\sqrt {n^{p\sigma_0(n)}}} = \sqrt {n^p} $$

また,$\sigma_{q/2}(n) = \sum_{d|n}d^{q/2} \leq \sum_{d|n}n^{q/2} = n^{q/2}\sigma_0(n)$だから,

$$ \sigma_0(n) \geq n^{-q/2}\sigma_{q/2}(n) $$

以上により,

$$ \sigma_p(n) \geq\sqrt {n^p}\sigma_0(n) \geq \sqrt{n^{p-q}}\sigma_{q/2}(n) $$
(等号成立条件は$p=q=0$)
を得る.

AM$\geq$HMより,

$$ \frac{\sigma_p(n)}{\sigma_0(n)} \geq \frac{\sigma_0(n)}{\sigma_{-p}(n)} = \frac{\sigma_0(n)}{\sigma_p(n)/n^p}(\because \mathrm{公式3}) $$

両辺に$\sigma_p(n)\sigma_0(n)(>0)$を乗じて,

$$ \sigma_p(n)^2 \geq n^p \sigma_0(n)^2 $$

$0 < x\leq y$のとき,$ x \leq y \iff \sqrt x \leq \sqrt y$だから,

$$ \sigma_p(n) \geq \sqrt {n^p}\sigma_0(n) $$
(等号成立条件は$p=0$)
また,$\sigma_{q/2}(n) = \sum_{d|n}d^{q/2} \leq \sum_{d|n}n^{q/2} = n^{q/2}\sigma_0(n)$だから,

$$ \sigma_0(n) \geq n^{-q/2}\sigma_{q/2}(n) $$

以上により,

$$ \sigma_p(n) \geq\sqrt {n^p}\sigma_0(n) \geq \sqrt{n^{p-q}}\sigma_{q/2}(n) $$
(等号成立条件は$p=q=0$)
を得る.

対称性より,

$$ \prod_{i=1}^r \sigma_{p_i}(n) = \sum_{d_1|n} \cdots \sum_{d_r|n}d_1^{p_1} \cdots d_r^{p_r} = \frac1{r!}\sum_{d_1|n} \cdots \sum_{d_r|n}\sum_{\tau}d_{\tau(1)}^{p_1} \cdots d_{\tau(r)}^{p_r} $$
($\tau$は$\{1,...,r\}$の置換)

Muirhead's Inequalityより,

$$ \sum_{\tau}d_{\tau(1)}^{p_1} \cdots d_{\tau(r)}^{p_r} \leq \sum_{\tau}d_{\tau(1)}^{\sum_{i=1}^r p_i} $$

だから,

$$\begin{align} \prod_{i=1}^r \sigma_{p_i}(n) & \leq\frac1{r!}\sum_{d_1|n} \cdots \sum_{d_r|n}\sum_{\tau}d_{\tau(1)}^{p_1} \cdots d_{\tau(r)}^{p_r}\\ & \leq \frac1{r!}\sum_{d_1|n} \cdots \sum_{d_r|n}\sum_{\tau}d_{\tau(1)}^{\sum_{i=1}^r p_i}\\ & = \frac1{r!}\sum_{d_1|n} \cdots \sum_{d_r|n}\left(d_1^{\sum_{i=1}^r p_i}(r-1)! + \cdots + d_r^{\sum_{i=1}^r p_i}(r-1)!\right)\\ & = \left(\frac1{r}\sum_{d_1|n} \cdots \sum_{d_r|n}d_1^{\sum_{i=1}^r p_i}\right) \cdot r\\ & = \sigma_0(n)^{r-1}\sigma_{\sum_{i=1}^r p_i}(n) \end{align}$$

(等号成立条件は$p_1=...=p_r=0$)
を得る.

$r=1$のときは自明.
$r=2$のとき,$\sigma_{p_1}(n)\sigma_{p_2}(n) \leq \sigma_0(n)\sigma_{p_1+p_2}(n)...(*)$...公式2より成立.
$r=k$のとき,与不等式が成立すると仮定すると,$r=k+1$のとき
$$ \prod_{i=1}^{k+1} \sigma_{p_i}(n) \leq \sigma_0(n)^{k}\sigma_{\sum_{i=1}^{k+1} p_i}(n) $$
となることを示す.
$$\begin{align} \prod_{i=1}^{k+1} \sigma_{p_i}(n) & = \prod_{i=1}^{k} \sigma_{p_i}(n) \cdot \sigma_{p_{k+1}}(n)\\ & \leq \sigma_0(n)^{k-1}\sigma_{\sum_{i=1}^k p_i}(n)\cdot \sigma_{p_{k+1}}(n)\\ & \leq \sigma_0(n)^{k-1}\sigma_0(n)\sigma_{\sum_{i=1}^{k+1} p_i}(n) \ \ (\because(*))\\ & \leq \sigma_0(n)^{k}\sigma_{\sum_{i=1}^{k+1} p_i}(n) \end{align}$$

$r=k+1$でも成立.
以上により,題意は示された.