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Carlitzによる二重超幾何級数のSaalschütz型和公式

以下はCarlitzによって1963年に示された公式である.

Carlitz(1963)

$m, n$ を $0$ 以上の整数とする. $c = b + b^{'}, a + b + 1 = c + d + m, a + b^{'} + 1 = c + d^{'} + n$ のとき,
$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(- m)_{k} (- n)_{l} (a)_{k + l} (b)_{k} (b^{'})_{l}}{k! l! (c)_{k + l} (d)_{k} (d^{'})_{l}} = \frac{(b + b^{'} - a)_{m + n} (b^{'})_{m} (b)_{n}}{(b + b^{'})_{m + n} (b^{'} - a)_{m} (b - a)_{n}} \end{array}$
が成り立つ.

証明において, 以下の $_{3} F_{2}$ 超幾何級数の Saalschützの和公式

$n$ を $0$ 以上の整数とする. $a + b + 1 = c + d + n$ のとき,
$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq k} \frac{(a, b, - n)_{k}}{k! (c, d)_{k}} = \frac{(c - a, c - b)_{n}}{(c, c - a - b)_{n}} \end{array}$

を用いる.

(定理1の証明)

Pochhammer記号の積を $(a_{1}, \dots, a_{r})_{n} = (a_{1})_{n} \dots (a_{r})_{n}$ のように表す.
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(- m)_{k} (- n)_{l} (a)_{k + l} (b)_{k} (b^{'})_{l}}{k! l! (c)_{k + l} (d)_{k} (d^{'})_{l}} & = \sum_{0 \leq k} \frac{(- m, a, b)_{k}}{k! (c, d)_{k}} \sum_{0 \leq l} \frac{(- n, a + k, b^{'})_{l}}{l! (c + k, d^{'})_{l}} \end{aligned}$
ここで, Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq l} \frac{(- n, a + k, b^{'})_{l}}{l! (c + k, d^{'})_{l}} & = \frac{(c - a, c - b^{'} + k)_{n}}{(c + k, c - a - b^{'})_{n}} \\ = \frac{(c - a, c - b^{'})_{n} (c - b^{'} + n, c)_{k}}{(c, c - a - b^{'})_{n} (c + n, c - b^{'})_{k}} \end{aligned}$
であるから, $c - b^{'} = b$ より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(- m, a, b)_{k}}{k! (c, d)_{k}} \sum_{0 \leq l} \frac{(- n, a + k, b^{'})_{l}}{l! (c + k, d^{'})_{l}} & = \frac{(c - a, c - b^{'})_{n}}{(c, c - a - b^{'})_{n}} \sum_{0 \leq k} \frac{(- m, a, b + n)_{k}}{k! (d, c + n)_{k}} \end{aligned}$
ここで, 再びSaalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(- m, a, b + n)_{k}}{k! (d, c + n)_{k}} & = \frac{(c - a + n, c - b)_{m}}{(c + n, c - a - b)_{m}} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} \frac{(c - a, c - b^{'})_{n}}{(c, c - a - b^{'})_{n}} \sum_{0 \leq k} \frac{(- m, a, b + n)_{k}}{k! (d, c + n)_{k}} & = \frac{(c - a, c - b^{'})_{n}}{(c, c - a - b^{'})_{n}} \frac{(c - a + n, c - b)_{m}}{(c + n, c - a - b)_{m}} \\ = \frac{(c - a)_{m + n} (c - b)_{m} (c - b^{'})_{n}}{(c)_{m + n} (c - a - b)_{m} (c - a - b^{'})_{n}} \\ = \frac{(b + b^{'} - a)_{m + n} (b^{'})_{m} (b)_{n}}{(b + b^{'})_{m + n} (b^{'} - a)_{m} (b - a)_{n}} \end{aligned}$
となって定理が示される.