logの逆数のテイラー展開とスターリング数

対数関数のn乗の逆数のテイラー展開をします。

$\dis\frac{1}{\log(x)^n}=\frac{1}{\Gamma(n)}\suminf{m=0}\sum_{k=0}^{m}(-1)^m{m\brack k}\frac{\Gamma(n+k)}{m!\log(\alpha)^{n+k}}\left(\frac{x}{\alpha}-1\right)^m$

$\alpha\neq 1,0$, $n\notin \mathbb{Z}_{\le 0}$

今回の方法だと、スターリング数が出てくる理由が結構分かりやすいかも。

本題

そのまんま微分しまくっても良いけど、
今回では、積分表示で$x$の多項式っぽく変形し、微分しやすくする。

$\dis\intinf t^{n-1}x^tdt=\frac{(-1)^n\Gamma(n)}{\log(x)^n}$

ガンマ関数で、
$t=-\log(x)u$,$dt=-\log(x)du$
と、置換する

$\Gamma(n)=\dis\intinf e^{-t}t^{n-1}dt$
$\qquad=\dis(-1)^n\log(x)^n\intinf x^u u^{n-1}dt$

これで積分部分について解けば得られる。

よってこれを微分してく。
ガンマ関数は広義一様収束するので順序変更可

$\dis\left(\frac{(-1)^n\Gamma(n)}{\log(x)^n}\right)’=\dis\intinf t^{n-1}tx^{t-1}dt$

$\dis\left(\frac{(-1)^n\Gamma(n)}{\log(x)^n}\right)’’=\dis\intinf t^{n-1}t(t-1)x^{t-2}dt$

$\dis\left(\frac{(-1)^n\Gamma(n)}{\log(x)^n}\right)’’’=\dis\intinf t^{n-1}t(t-1)(t-2)x^{t-3}dt$

もう分かると思うが、これは

$\dis\frac{d^m}{dx^m}\left(\frac{(-1)^n\Gamma(n)}{\log(x)^n}\right)=\dis\intinf t^{n-1}\Big(t(t-1)(t-2)…(t-m+1)\Big)x^{t-m}dt$

となっている。
被積分関数の大きな括弧の中は下降階乗冪なので、第一種スターリング数を使って書くことができる。(二項定理みたく、ただ展開するだけ)

そうすると

$\dis\frac{d^m}{dx^m}\left(\frac{(-1)^n\Gamma(n)}{\log(x)^n}\right)$
$\qquad=\dis\intinf t^{n-1}\Big(\sum_{k=0}^{m}(-1)^{m+k}{m\brack k}t^k\Big)x^{t-m}dt$

変形してく

$\qquad=\dis \intinf\Big(\sum_{k=0}^{m}x^{-m}(-1)^{m+k}{m\brack k}t^{n+k-1}x^t \Big)dt$

$\qquad=\dis\sum_{k=0}^{m}x^{-m}(-1)^{m+k}{m\brack k}\frac{(-1)^{n+k}\Gamma(n+k)}{\log(x)^{n+k}}$

$\qquad=(-1)^n\dis\sum_{k=0}^{m}(-x)^{-m}{m\brack k}\frac{\Gamma(n+k)}{\log(x)^{n+k}}$

$x=\alpha$で、指数型母関数に突っ込めば、$\alpha$でのテイラー展開になる。

ちょっと整理すれば

$\dis\frac{1}{\log(x)^n}=\frac{1}{\Gamma(n)}\suminf{m=0}\sum_{k=0}^{m}(-1)^m{m\brack k}\frac{\Gamma(n+k)}{m!\log(\alpha)^{n+k}}\left(\frac{x}{\alpha}-1\right)^m$

終わり。

特に、$n=1,\alpha=e$ とし、
$x$を$e$倍するとすっきりする。

$\dis\frac{1}{\log(x)+1}=\suminf{m=0}\sum_{k=0}^{m}(-1)^m{m\brack k}\frac{k!}{m!}\left(x-1\right)^m$

今回はここまで
間違い等あれば指摘ください。

投稿日：4日前

更新日：4日前