logの逆数のテイラー展開とスターリング数

対数関数のn乗の逆数のテイラー展開をします。

今回の方法だと、スターリング数が出てくる理由が結構分かりやすいかも。

本題

そのまんま微分しまくっても良いけど、
今回では、積分表示で$x$の多項式っぽく変形し、微分しやすくする。

よってこれを微分してく。
ガンマ関数は広義一様収束するので順序変更可

${\displaystyle {\left(\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(n)}{\log {\left(x\right)}^n}\right)}^{\prime }={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}t{x}^{t-1}dt}}$

${\displaystyle {\left(\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(n)}{\log {\left(x\right)}^n}\right)}^{″}={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}t(t-1)x^{t-2}dt}}$

${\displaystyle {\left(\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(n)}{\log {\left(x\right)}^n}\right)}^{‴}={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}t(t-1)(t-2)x^{t-3}dt}}$

もう分かると思うが、これは

${\displaystyle \frac{d^m}{d{x}^m}\left(\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(n)}{\log {\left(x\right)}^n}\right)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}(t(t-1)(t-2)\dots (t-m+1))x^{t-m}dt}}$

となっている。
被積分関数の大きな括弧の中は下降階乗冪なので、第一種スターリング数を使って書くことができる。(二項定理みたく、ただ展開するだけ)

そうすると

${\displaystyle \frac{d^m}{d{x}^m}\left(\frac{(-1{)}^n\mathrm{\Gamma }(n)}{\log {\left(x\right)}^n}\right)}$
$={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{n-1}(\sum _{k=0}^m(-1{)}^{m+k}[\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}]t^k)x^{t-m}dt}$

変形してく

$={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=0}^m{x}^{-m}(-1{)}^{m+k}[\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}]t^{n+k-1}{x}^t)dt}$

$={\displaystyle \sum _{k=0}^m{x}^{-m}(-1{)}^{m+k}[\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}]\frac{(-1{)}^{n+k}\mathrm{\Gamma }(n+k)}{\log {\left(x\right)}^{n+k}}}$

$=(-1{)}^n{\displaystyle \sum _{k=0}^m(-x{)}^{-m}[\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}]\frac{\mathrm{\Gamma }(n+k)}{\log {\left(x\right)}^{n+k}}}$

$x=\alpha$で、指数型母関数に突っ込めば、$\alpha$でのテイラー展開になる。

ちょっと整理すれば

終わり。

特に、$n=1,\alpha =e$ とし、
$x$を$e$倍する とすっきりする。

${\displaystyle \frac{1}{\log \left(x\right)+1}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^m(-1{)}^m[\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}]\frac{k!}{m!}{(x-1)}^m}$

今回はここまで
間違い等あれば指摘ください。