mod演算を複素数に拡張する

面白い記事[1]を見つけたので、派生記事を書きます
書き終わった後でクッソしょうもない結論になったので、期待感は持たないでください
　・豆腐を日本刀で切るような感じになってしまった……。

剰余は円上に並ぶ

まず、剰余を円上に並べたものを想像してみます。

• 例えば $12$ で割った余りは時計の文字盤のようになります
  • 始まりは $12$ ではなく $0$ がいいとか、$3$時の位置を始点$0$にして反時計回りに$1,2,\cdots,11$と並んで欲しいとか、そういう細かいことは抜きにして、とにかく剰余は円上に並べられるということをイメージしてください

複素指数・対数関数

オイラーの公式を用いると$=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$となり、複素平面の単位円上を等角速度で移動する点を作れます
この時、$\theta=\theta_0+2\pi k\ (k\in\mathbb Z,\ 0\le\theta_0\lt2\pi)$とすると、$e^{i\theta}=e^{i\theta_0}$となり、$2\pi k$の情報が失われます

逆に、複素対数関数を用いると、$\log(e^{i\theta})=i(\theta_0+2\pi n)$ となります
$\theta$の値の復元をしようとしますが、$2\pi k$の情報が失われるため、全ての$n$に対して$\theta_0+2\pi n$が求める値になります
これは剰余よりも一般的な mod と似てきます
$25\equiv13\equiv1\mod12$が成立するようなイメージで、複数の値が$\log(e^\theta)$の値になります

係数の調整

先に出した例のままでは周期が$2\pi$なので、周期を割る数$m$に調節します
また、$\log$の計算後に$i$が付くので打ち消します
$x$を$m$で割った余りは${\rm mod}(x,m)=\frac{m}{2\pi i}\log(e^{\frac{2\pi }{m}ix})$になります
これは$x$と$m$が整数の場合と整合が取れる、直感的な拡張になっていると思います

例

${\rm mod}(i,m)=\frac{m}{2\pi i}\log(e^{\frac{2\pi}{m}i\cdot i})=\frac{m}{2\pi i}\cdot i(\frac{2\pi}{m}+2\pi n)=i+nm$
${\rm mod}(1+i,m)=\frac{m}{2\pi i}\log(e^{\frac{2\pi}{m}i(1+i)})=\frac{m}{2\pi}\cdot i(\frac{2\pi}{m}(1+i)+2\pi n)=1+i+mn$

おわり

いや、これ $+mn$ したら良いだけやん
なんかだいぶ面白くない結果になったなーという印象
目隠しで日本刀(オイラーの公式)で切ったら、切ったものが豆腐 ($+mn$したら良いという結論)だった気分だ
出来そう！という見切り発車で記事を書くとこうなる、という良い例
なんなら最初にちょっと考えたら気づけたやん
　・逆関数を合成したら恒等関数になるから、殆ど恒等関数になるって気づけたやん
サンクコストもったいないんで取り敢えず投稿しとこ

元記事

1. tanu, "割り算のあまりを複素数に拡張する", Mathlog

参考文献の使い方が分からなかったので手打ちです。