東大数理院試過去問解答例(2014A04)

まず$a\ne 0$の場合を考える。$C$を単位円上に反時計回りの向きを入れた経路とする。置換積分により
$$\begin{array}{rl}{I}_n& =\frac{1}{2}{\int }_C\frac{e^{in\theta }+e^{-in\theta }}{1-a(e^{i\theta }+e^{-i\theta })+a^2}d\theta \\ & =\frac{1}{2}{\int }_C\frac{z^n+z^{-n}}{1-a(z+z^{-1})+a^2}\frac{dz}{iz}\\ & =-\frac{i}{2}{\int }_C\frac{z^n+z^{-n}}{(1+a^2)z-a(z^2+1)}dz\\ & =\frac{i}{2a}{\int }_C\frac{z^n+z^{-n}}{z^2-(a+a^{-1})z+1}dz\\ & =\frac{i}{2a}{\int }_C\frac{z^n+z^{-n}}{(z-a)(z-a^{-1})}dz\\ & =\frac{i}{2a}{\int }_C\frac{z^{2n}+1}{z^n(z-a)(z-a^{-1})}dz\end{array}$$
である。ここで被積分関数の$a,a^{-1}$に於ける留数は
$$\frac{a^n+a^{-n}}{a-a^{-1}}$$
$$\frac{a^n+a^{-n}}{a^{-1}-a}$$
である。一方$z=0$に於ける留数は
$$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Res}}_{z=0}\frac{1+z^{2n}}{z^n}\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^j}{a^{j+1}}\right)\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^{j+1}{z}^j\right)\\ & =(a^{n-1}+a^{n-3}+a^{n-5}+\cdots +a^{-(n-3)}+a^{-(n-1)})\\ & =\frac{a^n-a^{-n}}{a-a^{-1}}\end{array}$$
である。以上の議論と留数定理から、$0<|a|<1$のとき積分値は
$$-\frac{\pi }{a}(\frac{a^n+a^{-n}}{a-a^{-1}}+\frac{a^n-a^{-n}}{a-a^{-1}})=\frac{2\pi a^n}{1-a^2}$$
である一方、$|a|>1$のときは
$$-\frac{\pi }{a}(-\frac{a^n+a^{-n}}{a-a^{-1}}+\frac{a^n-a^{-n}}{a-a^{-1}})=\frac{2\pi }{a^n(a^2-1)}$$
である。一方$a=0$のときは$0$であるから、以上をまとめると
$$I_n=\{\begin{array}{ll}\frac{2\pi a^n}{1-a^2}& (|a|<1)\\ \frac{2\pi }{a^n(a^2-1)}& (1<|a|)\end{array}$$
である。