院解6 京大数学系H28 基礎II 4 群論

(i) $ AB=\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray} $, $BA= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \end{eqnarray} $, $A^2= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)=-BAB \end{eqnarray} $, $A^3=-I$, $B^2=I$ である.特に$A^2=-BAB$であり$B$の位数は$2$だから$A$,$B$の並びとそれらの$-1$倍だけ考えればよい.計算により$(AB)^2=(BA)^2=I$なので考えられるのは$I$,$A$,$B$,$AB$,$BA$,$BAB$,$ABA$とこれらの$-1$倍だが,$ABA=B$である.また$BAB= \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray} $なので他の元はどの二つも互いに異なる.$-1$倍を含めて考えても同様であり位数は$12$.
(ii)計算により$A(BA)=B$,$A(AB)=-BA$なので$\pm A$,$\pm AB$は中心の元ではない.$ABA=B$,$BAA=-AB$だから$ABA=B$,$BAA=-AB$だから$\pm BA$も中心に含まれない.$AB\neq BA$だから$\pm B$も中心に含まれない.$B(BAB)=AB$,$(BAB)B=BA$なので$\pm BAB$は中心に含まれない.$\pm I$は中心の元である.よって中心の位数は$2$.
(iii)$-I$,$\pm B$,$\pm AB$,$\pm BA$は位数$2$.$(\pm BAB)^2=BA^2B=-BBABB=-A$なので位数は$2$ではない.$A$は(i)の計算から位数$6$ なので$-A=A^4$は位数$3$.$I$は位数$1$.よって位数$2$の元は$7$こ.$\Box$