院解6 京大数学系H28 基礎II 4 群論

これどうやって解くん？教えて〜とんとん
「線型授業すたとんとん〜」
ほなやっていこか

とりあえず元をいくつか計算してみるといけます.

(i) $A B = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} - 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}) \end{array}$ , $B A = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{array}) \end{array}$ , $A^{2} = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} - 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) = - B A B \end{array}$ , $A^{3} = - I$ , $B^{2} = I$ である.特に $A^{2} = - B A B$ であり $B$ の位数は $2$ だから $A$ , $B$ の並びとそれらの $- 1$ 倍だけ考えればよい.計算により $(A B)^{2} = (B A)^{2} = I$ なので考えられるのは $I$ , $A$ , $B$ , $A B$ , $B A$ , $B A B$ , $A B A$ とこれらの $- 1$ 倍だが, $A B A = B$ である.また $B A B = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \end{array}$ なので他の元はどの二つも互いに異なる. $- 1$ 倍を含めて考えても同様であり位数は $12$ .
(ii)計算により $A (B A) = B$ , $A (A B) = - B A$ なので $\pm A$ , $\pm A B$ は中心の元ではない. $A B A = B$ , $B A A = - A B$ だから $A B A = B$ , $B A A = - A B$ だから $\pm B A$ も中心に含まれない. $A B \neq B A$ だから $\pm B$ も中心に含まれない. $B (B A B) = A B$ , $(B A B) B = B A$ なので $\pm B A B$ は中心に含まれない. $\pm I$ は中心の元である.よって中心の位数は $2$ .
(iii) $- I$ , $\pm B$ , $\pm A B$ , $\pm B A$ は位数 $2$ . $(\pm B A B)^{2} = B A^{2} B = - B B A B B = - A$ なので位数は $2$ ではない. $A$ は(i)の計算から位数 $6$ なので $- A = A^{4}$ は位数 $3$ . $I$ は位数 $1$ .よって位数 $2$ の元は $7$ こ. $◻$