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大学数学基礎問題
文献あり

【拡散モデル】確率微分方程式と拡散過程における条件付き確率について

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質問

岡野原大輔さんの著書、拡散モデル データ生成技術の数理を読んでて, p70の導出がわかりませんでした.

条件付き確率の導出方法について, どなたかご教示頂けないでしょうか?

確率微分方程式が与えられているとする.

\begin{equation} dx=f(t)xdt+g(t)dw \end{equation}

このときの, 一般解を求めよ.

\begin{equation} dx - f(t)xdt = g(t)dw(t) \end{equation}

両辺に$\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)$をかける.

\begin{equation} \exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)dx -\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)f(t)xdt =\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t) \end{equation}

伊藤の公式より,
\begin{equation} d(\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)x) = \exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)dx -\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)f(t)xdt \end{equation}

よって,
\begin{equation} d(\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)x) =\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t) \end{equation}

両辺を積分すると,
\begin{equation} \exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)x-x_0 =\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t) \end{equation}

よって,
\begin{equation} x =x(0)\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right) +\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t) \end{equation}

確率微分方程式が与えられているとする.

\begin{equation} dx=f(t)xdt+g(t)dw \end{equation}

このとき, 条件付き確率は,
\begin{equation} p(x(t)|x(0))=\mathcal{N}(s(t)x(0),s(t)^2\sigma(t)^2I) \end{equation}

ただし,
\begin{eqnarray} s(t)&=&\exp\left(\int_{0}^{t}f(\xi)d\xi\right)\\ \sigma(t)&=&\sqrt{\int_{0}^{t}\dfrac{g(\xi)^2}{s(\xi)^2}d\xi} \end{eqnarray}

である.

簡単のため, 1次元の場合について考える.

\begin{eqnarray} \mathbb{E}\lbrack x(t)\rbrack &=& \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(0)\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\Bigr\rbrack +\mathbb{E}\Bigl\lbrack \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\Bigr\rbrack\\ &=& x(0)\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right) \ \ \ \left(\because \mathbb{E}\Bigl\lbrack \int h(t)dw(t)\Bigr\rbrack =0\right) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mathbb{E}\lbrack x^2(t)\rbrack &=& \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(x(0)\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 \Bigr\rbrack +\mathbb{E}\Bigl\lbrack \left( \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t) \right)^2 \Bigr\rbrack \\ &&\left(\because \mathbb{E}\Bigl\lbrack \int h(t)dw(t)\Bigr\rbrack =0\right) \\ &=& \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(x(0)\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 \Bigr\rbrack +\mathbb{E}\Bigl\lbrack \left( \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 \int_{0}^{t}\left(\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)\right)^2dt \Bigr\rbrack\\ &&(\because 伊藤積分の等長性)\\ &=& \left(x(0)\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 + \left( \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 \int_{0}^{t}\left(\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)\right)^2dt \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mathbb{E}\lbrack \left(x(t)-\mathbb{E}[x(t)]\right)^2\rbrack &=& \mathbb{E}\lbrack x^2(t)\rbrack-\mathbb{E}\lbrack x(t)\rbrack^2\\ &=& \left( \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 \int_{0}^{t}\left(\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)\right)^2dt \end{eqnarray}

多次元の場合はわからなかったので, どなたか補足お願いします.
一応, 私なりに多次元の場合を証明したので下記に示します.

\begin{eqnarray} \mathbb{E}\lbrack x(t)\rbrack &=& \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(0)\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\Bigr\rbrack +\mathbb{E}\Bigl\lbrack \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\Bigr\rbrack\\ &=& x(0)\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right) \ \ \ \left(\because \mathbb{E}\Bigl\lbrack \int h(t)dw(t)\Bigr\rbrack =0\right) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mathbb{E}\lbrack x(t)x^T(t)\rbrack &=& \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2x(0)x(0)^T \Bigr\rbrack\\ &+& \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2x(0)\left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\right) ^T\Bigr\rbrack\\ &+& \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2\left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\right)x(0)^T(t) \Bigr\rbrack\\ &+& \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2\left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\right)\left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\right)^T \Bigr\rbrack\\ &=& \left(\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 x(0)x(0)^T \\ &+& \left(\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(0)\left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\right)^T \Bigr\rbrack\\ &+& \left(\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\right)x(0)^T \Bigr\rbrack\\ &+& \left(\exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)\right)^2 \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\right)\left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)g(t)dw(t)\right)^T \Bigr\rbrack\\ &=& \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)^2 x(0)x(0)^T + \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)^2 \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)^2g^2(t)dt \right)I \Bigr\rbrack\\ &=& \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)^2 x(0)x(0)^T + \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)^2 \left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)^2g^2(t)dt \right)I \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mathbb{E}\Bigl\lbrack \left(x(t)-\mathbb{E}\lbrack x(t)\rbrack\right) \left(x(t)-\mathbb{E}\lbrack x(t)\rbrack\right)^T \Bigr\rbrack &=& \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t)x(t)^T \Bigr\rbrack - \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t) \Bigr\rbrack \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t)^T \Bigr\rbrack - \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t) \Bigr\rbrack \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t)^T \Bigr\rbrack + \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t) \Bigr\rbrack \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t)^T \Bigr\rbrack\\ &=& \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t)x(t)^T \Bigr\rbrack - \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t) \Bigr\rbrack \mathbb{E}\Bigl\lbrack x(t) \Bigr\rbrack^T\\ &=& \exp\left(\int_{0}^{t}f(t)dt\right)^2 \left(\int_{0}^{t}\exp\left(-\int_{0}^{t}f(t)dt\right)^2g^2(t)dt \right)I \end{eqnarray}

本当は, コルモゴロフの前向き方程式とかコルモゴロフの後ろ向き方程式から条件付き確率を求めたほうがいいんでしょうが, 導出方法がわかりませんでした...

参考文献

[1]
岡野原大輔, 拡散モデル データ生成技術の数理
投稿日:2023525

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hdk105
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