文献あり

初見で理解をするのが難しい用語たち

勉強をしているときに、「これとこれって同じようなものじゃない？」とか、「これってつまりどういうこと？」と思いたくなるようなものが多くあるような気がしていて、それをちゃんと理解するために、記事にまとめるのもいいのでは？と思いました。

基本は、自分が分からないと初見の時に感じたものを書いています。今回、記事に取り扱っていないものもまだまだありますが、それは理解が不十分で、取り扱えるレベルに今はないと思っているものたちばかりです。勉強するたんびに難しいなーとうなっています。いつかは説明できるようにしたいと思っていますが$\cdots$。

距離空間と位相空間の違い

私は位相空間論が非常に苦手で、あまり勉強ができていないため、これを書く時点でにわかな気がしないでもないですが、そこはご愛敬ということにしてもらえると助かります。

まずは、簡単な定義をしておきます。

(距離空間)

$X$を空でない集合とする。直積集合$X \times X$上の実直線上関数$d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}$が次の条件を満たすとき、関数$d$を距離関数といい、対$(X , d)$または単に$X$を距離空間という。

(i) $\forall x,y \in X$に対して、$d(x,y) \geqq 0$である。特に、$d(x,y) = 0$ならば、$x = y$である。

(ii) $\forall x,y \in X$に対して、$d(x,y) = d(y,x)$が成り立つ。

(iii) $\forall x,y,z \in X$に対して、$d(x,z) \leqq d(x,y) + d(y,z)$が成り立つ。

(位相空間)

$X$を空でない集合とする。$X$の部分集合の族(すなわち、$X$のベキ集合$ \mathfrak{B}(X) $の部分集合)$ \mathcal{O} $は次の条件を満たすとき、集合$X$の位相であるという。

(i) $X \in \mathcal{O} \hspace{2mm},\hspace{2mm} \varnothing \in \mathcal{O}$

(ii) $O_1 , O_2 , \cdots,O_k \in \mathcal{O}$ならば、$O_1 \cap O_2 \cdots \cap O_k \in \mathcal{O}$

(iii) $(O_\lambda \mid \lambda \in \Lambda)$を$\mathcal{O}$の元からなる集合系とすれば、$\cup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathcal{O}$

距離空間と位相空間の定義そのものも、なかなか理解が難しいのですが、特に位相空間はなかなかハードなものだと思っています。

距離空間は結構イメージがしやすいです。日常生活でよく使う距離とほぼ同じようなものだとイメージすると定義も受け入れやすいと思います。

自分の家からスーパーまでの距離について考えてみると、当然、距離は正の値を取ります。マイナスになることはあり得ません。$-10\text{km}$なんて距離を聞いたことがないですし。
(ii)は、自分の家からスーパーまでの距離と、スーパーから自分の家の距離って同じですよね？という話です。(iii)は自分の家からスーパーに行く距離は、ちょっとスーパーに行くまでの間に寄り道をしたときの距離以下になりますよね？という話です。

問題となってくるのが、位相空間です。距離空間はなるほどと理解できても、位相空間は一体何なの？となる人が多いと思いますし、自分もよくわからないなーと思いました。なんなら、今も勉強中です。

位相空間は、距離空間よりもっと抽象的なもので、何か点を取ったときに、その点の周辺にどんな集合があるのか、この情報からこの空間がどんな構造をしているのかを考えるものです。

自分の今の知識では、位相空間論について熱く語れるほどの知識がないので、ここまでで一旦次に行きます。

連続と一様連続の違い

続いて、微分積分の話に移ります。連続と一様連続は、自分が最初に触れたときは、区別がつかなかったです。「これとこれって同じようなものじゃない？」と思った用語です。しかし、連続と一様連続はかなり大きな違いがあります。定義を見てみましょう。

(連続)

$x = a$で連続であるとは、

$\forall \varepsilon > 0$に対して、$\exists \delta >0$が存在して、$\mid x - a \mid < \delta$となるすべての$x$に対して、
$$ \mid f(x) - f(a) \mid < \varepsilon$$
が成り立つことである。

(一様連続性)

関数$f(x)$が区間$I$上で一様連続ならば、$\forall \varepsilon > 0$に対し、$\exists \delta > 0$が存在して、$\mid x - t\mid < \delta$を満たすすべての$x,t$に対し、
$$ \mid f(x) - f(t) \mid < \varepsilon$$
が成り立つ。

難波『微分積分学』では、閉区間上の連続関数が一様連続になることを定理として紹介されていたのですが、自分は簡単のために定義としておきます。(閉区間ではなく、区間$I$とちょっとふわっとした定義にしたのもそのためです)

この二つの定義を見比べたとき、最初は何が違うのかが見えてきませんでした。これをものすごくざっくりと説明をしてくれている本を持っているため、紹介しておきたいと思います。

$f(x)$が$I$上で連続とは、任意の$x\in I$と任意の$\varepsilon > 0$に対して、ある$\delta$が存在し、$x' \in I$かつ$\mid x - x' \mid < \delta$ならば$\mid f(x) - f(x') \mid < \varepsilon$が成り立つことであり、ここで$\delta$は$f$と$x$と$\varepsilon$に依存する。一方、一様連続性の場合、定義4における$\delta$は$f$と$\varepsilon$にのみ依存する。
これからの微分積分新井仁之より引用

これを読んですぐに理解できる人は、きっと定義の文をみて区別がつく人だろうと思っています。私はちゃんと理解できなかったので、自分なりに解釈をしてみました。

連続：取る点によって、$\delta$を上手く設定する。

一様連続：取る点に依らず、同じ$\delta$を使いまわす。

このように区別をしてみました。まず、連続からいきます。

連続は、適当に点を取り、その点に合うような$\delta$を定めます。取った点とは異なる点を取った場合、最初に定めた$\delta$の設定をいじることができるのです。

それに対して、一様連続は、一度$\delta$を決めてしまうと変更できなくなります。点によって、コロコロ$\delta$をいじる必要性はありませんが、どんな点を取っても$\delta$で押さえられるようにする必要があるため、連続より厳しい条件となっています。そのため、一様連続ならば、連続です。逆は一般には成り立ちません。

ここまでが初見で理解するのが難しい用語たちでした。第2弾も気分が乗ったら書きます。

今回は以上です。