単振り子の厳密な周期は,第一種楕円積分というもので記述されます.その表式から,厳密な単振り子の周期は最大角に依存することが分かります.私は,厳密な単振り子周期の表式をみたときホントに最大角に依存するのか気になりました.本稿は,それを(改めて自分で納得するために)確認した記事です.
第一種楕円積分とは以下のようなものです:
単振り子の厳密な周期
長さ
単振り子の質量を
ここで
ゆえ
このような計算を経て,厳密には振り子の周期は,振り子の長さだけでなく最大角にも依存するということが分かるわけです.
しかし,私はふと気になることがありました.この議論の根拠には
周期
この問題を解くために以下の定理を用います:
領域
を満たすとする.このとき
が成り立つ.
この定理を用いて
単振り子の周期
まず
とおく.この関数は領域
そして
となって,
よって周期
微分と積分の順序交換で,単振り子の周期が振幅最大角に依存することが確認できました(よかった).特に,最大角に対して周期は単調増加するという事実は,大きく振れれば周期は長くなる,という直感とも整合しています.