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大学数学基礎解説
文献あり

単振り子の周期は最大角にホントに依存するか気になった話

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はじめに

 単振り子の厳密な周期は,第一種楕円積分というもので記述されます.その表式から,厳密な単振り子の周期は最大角に依存することが分かります.私は,厳密な単振り子周期の表式をみたときホントに最大角に依存するのか気になりました.本稿は,それを(改めて自分で納得するために)確認した記事です.

準備

 第一種楕円積分とは以下のようなものです:

第一種楕円積分(ルジャンドルの標準形)

F(k, ϕ)=0ϕdθ1k2sinθ.

単振り子の厳密な周期Tはこの第一種楕円積分を用いて表されます.

単振り子の厳密な周期

 長さ,重力加速度g,振幅最大角θ0の単振り子の周期は4gF(sinθ02, π2)となる.

エネルギー保存から導出

 単振り子の質量をmとする.エネルギー保存より
m2(θ˙)2mgcosθ=mgcosθ0,θ˙=2g(cosθcosθ0).
dt=dθ/θ˙より,単振り子の周期T
T=40T4dt=40θ0dθθ˙=40θ02g(cosθcosθ0)dθ.
ここでsin(θ/2)=sin(θ0/2)sinϕという変数変換を行うと,cos(θ/2)dθ/2=sin(θ0/2)cosϕdϕであり
cosθcosθ0=2(sin2θ02sin2θ2)=2sin2θ02(1sin2ϕ)
ゆえ
T=40π24gsin2θ02(1sin2ϕ)2sinθ02cosϕcosθ2dϕ=4g0π2dϕ1sin2θ02sin2ϕ=4gF(sinθ02, π2).

 このような計算を経て,厳密には振り子の周期は,振り子の長さだけでなく最大角にも依存するということが分かるわけです.
 しかし,私はふと気になることがありました.この議論の根拠にはF(sinθ02, π2)θ0に依存するという事実を用いている訳ですが,私は自明には思えませんでした(いやまあ,先人たちが計算しているでしょうし,確認したところで車輪の再発明になるのは分かっているのですが,気になるものは仕方がありません).という訳で,実際に確かめてみました.

確認してみる

 周期Tが最大角θ0に依存するかは,dTdθ0を確かめればよいでしょう.

単振り子の周期は最大角に依存するか?

 dTdθ0が常に0,とはならないことを示して周期Tの最大角θ0への依存性を示したい.そのためには結局,ddθ0F(sinθ02, π2)が常に0,とはならないことを示せばよい.

この問題を解くために以下の定理を用います:

微分と積分の順序交換

 領域[a, b]×[c, d]上で定義された2変数関数f(x, t)について

  1. f(x, t)がこの領域で連続
  2. 関数f(x, t)は,この領域でxで偏微分可能
  3. xf(x, t)がこの領域で連続

を満たすとする.このとき
ddxcdf(x, t)dt=cdxf(x, t)dt
が成り立つ.

この定理を用いてdTdθ0を計算しましょう.

単振り子の周期の最大角依存性

 単振り子の周期Tは最大角θ0に依存する.

dTdθ0=0は常には成り立たない

 まず
f(θ0, ϕ):=11sin2θ02sin2ϕ
とおく.この関数は領域D:[0, π/2]×[0, π/2]で定義され,連続である.実際,sin2θ02sin2ϕ(1/2)1=1/2となって,D上でfが発散しない.
 そしてD上でfθ0で偏微分可能で
θ0f(θ0, ϕ)=sinθ02cosθ02sin2ϕ2(1sin2θ02sin2ϕ)3/2
となって,θ0f(θ0, ϕ)も連続.したがって,定理2より
dTdθ0=4gddθ0F(sinθ02, π2)=4g0π2θ0f(θ0, ϕ)dϕ=4g0π2sinθ02cosθ02sin2ϕ2(1sin2θ02sin2ϕ)3/2dϕ>0.
よって周期Tは振幅最大角θ0に対して単調増加ゆえ,Tは最大角θ0に依存する.

おわりに

 微分と積分の順序交換で,単振り子の周期が振幅最大角に依存することが確認できました(よかった).特に,最大角に対して周期は単調増加するという事実は,大きく振れれば周期は長くなる,という直感とも整合しています.

参考文献

投稿日:202472
更新日:202479
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