単振り子の周期は最大角にホントに依存するか気になった話
はじめに
単振り子の厳密な周期は，第一種楕円積分というもので記述されます．その表式から，厳密な単振り子の周期は最大角に依存することが分かります．私は，厳密な単振り子周期の表式をみたときホントに最大角に依存するのか気になりました．本稿は，それを（改めて自分で納得するために）確認した記事です．
準備
第一種楕円積分とは以下のようなものです：
$$ F(k,\ \phi) = \int_0^\phi \frac{d \theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin{\theta}}}. $$
単振り子の厳密な周期$T$はこの第一種楕円積分を用いて表されます．
長さ$\ell$，重力加速度$g$，振幅最大角$\theta_0$の単振り子の周期は$4 \sqrt{\dfrac{\ell}{g}} F \left(\sin{\dfrac{\theta_0}{2}},\ \dfrac{\pi}{2}\right)$となる．
単振り子の質量を$m$とする．エネルギー保存より
$$
\frac{m}{2} (\ell \dot{\theta})^2 - m g \ell \cos{\theta} = - m g \ell \cos{\theta_0}, \qquad \therefore \dot{\theta} = \sqrt{\frac{2 g}{\ell} (\cos{\theta} - \cos{\theta_0})}.
$$
$d t = d \theta/\dot{\theta}$より，単振り子の周期$T$は
$$
T = 4 \int_0^{\frac{T}{4}} \, d t = 4 \int_0^{\theta_0} \frac{d \theta}{\dot{\theta}} = 4 \int_0^{\theta_0} \sqrt{\frac{\ell}{2 g (\cos{\theta} - \cos{\theta_0})}}\, d \theta.
$$
ここで$\sin{(\theta/2)} = \sin{(\theta_0/2)} \sin{\phi}$という変数変換を行うと，$\cos{(\theta/2)}\, d \theta/2 = \sin{(\theta_0/2)} \cos{\phi} \, d \phi$であり
$$
\cos{\theta} - \cos{\theta_0} = 2 \left(\sin^2{\frac{\theta_0}{2}} - \sin^2{\frac{\theta}{2}}\right) = 2 \sin^2{\frac{\theta_0}{2}} (1 - \sin^2{\phi})
$$
ゆえ
\begin{align}
T &= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\ell}{4 g \sin^2{\frac{\theta_0}{2}} (1 - \sin^2{\phi})}} \frac{2 \sin{\frac{\theta_0}{2}} \cos{\phi}}{\cos{\frac{\theta}{2}}} \, d \phi \\
&= 4 \sqrt{\frac{\ell}{g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{\sqrt{1 - \sin^2{\frac{\theta_0}{2}} \sin^2{\phi}}} \\
&= 4 \sqrt{\dfrac{\ell}{g}} F \left(\sin{\dfrac{\theta_0}{2}},\ \dfrac{\pi}{2}\right).
\end{align}
このような計算を経て，厳密には振り子の周期は，振り子の長さだけでなく最大角にも依存するということが分かるわけです．
しかし，私はふと気になることがありました．この議論の根拠には$F \left(\sin{\dfrac{\theta_0}{2}},\ \dfrac{\pi}{2}\right)$が$\theta_0$に依存するという事実を用いている訳ですが，私は自明には思えませんでした（いやまあ，先人たちが計算しているでしょうし，確認したところで車輪の再発明になるのは分かっているのですが，気になるものは仕方がありません）．という訳で，実際に確かめてみました．
確認してみる
周期$T$が最大角$\theta_0$に依存するかは，$\dfrac{d T}{d \theta_0}$を確かめればよいでしょう．
$\dfrac{d T}{d \theta_0}$が常に0，とはならないことを示して周期$T$の最大角$\theta_0$への依存性を示したい．そのためには結局，$\dfrac{d}{d \theta_0} F \left(\sin{\dfrac{\theta_0}{2}},\ \dfrac{\pi}{2}\right)$が常に0，とはならないことを示せばよい．
この問題を解くために以下の定理を用います：
領域$[a,\ b] \times [c,\ d]$上で定義された2変数関数$f(x,\ t)$について
- $f(x,\ t)$がこの領域で連続
- 関数$f(x,\ t)$は，この領域で$x$で偏微分可能
- $\dfrac{\partial}{\partial x} f(x,\ t)$がこの領域で連続
を満たすとする．このとき
$$
\frac{d}{d x} \int_c^d f(x,\ t)\, dt = \int_c^d \frac{\partial}{\partial x} f(x,\ t)\, dt
$$
が成り立つ．
この定理を用いて$\dfrac{d T}{d \theta_0}$を計算しましょう．
単振り子の周期$T$は最大角$\theta_0$に依存する．
まず
$$
f(\theta_0,\ \phi) := \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^2{\frac{\theta_0}{2}} \sin^2{\phi}}}
$$
とおく．この関数は領域$D: [0,\ \pi/2] \times [0,\ \pi/2]$で定義され，連続である．実際，$\sin^2{\frac{\theta_0}{2}} \sin^2{\phi} \leq (1/2) \cdot 1 = 1/2$となって，$D$上で$f$が発散しない．
そして$D$上で$f$は$\theta_0$で偏微分可能で
$$
\frac{\partial}{\partial \theta_0} f(\theta_0,\ \phi) = \frac{\sin{\frac{\theta_0}{2}} \cos{\frac{\theta_0}{2}} \sin^2{\phi}}{2 (1 - \sin^2{\frac{\theta_0}{2}} \sin^2{\phi})^{3/2}}
$$
となって，$\dfrac{\partial}{\partial \theta_0} f(\theta_0,\ \phi)$も連続．したがって，定理２より
\begin{align}
\frac{d T}{d \theta_0} &= 4 \sqrt{\dfrac{\ell}{g}} \dfrac{d}{d \theta_0} F \left(\sin{\dfrac{\theta_0}{2}},\ \dfrac{\pi}{2}\right) \\
&= 4 \sqrt{\dfrac{\ell}{g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\partial}{\partial \theta_0} f(\theta_0,\ \phi)\, d \phi \\
&= 4 \sqrt{\dfrac{\ell}{g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{\frac{\theta_0}{2}} \cos{\frac{\theta_0}{2}} \sin^2{\phi}}{2 (1 - \sin^2{\frac{\theta_0}{2}} \sin^2{\phi})^{3/2}}\, d \phi \\
&> 0.
\end{align}
よって周期$T$は振幅最大角$\theta_0$に対して単調増加ゆえ，$T$は最大角$\theta_0$に依存する．
おわりに
微分と積分の順序交換で，単振り子の周期が振幅最大角に依存することが確認できました（よかった）．特に，最大角に対して周期は単調増加するという事実は，大きく振れれば周期は長くなる，という直感とも整合しています．
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