複数の擬距離が定める位相

ゲージ位相を$\tau_1$，$\set{d_c}{d\in D,\ c\in X}$が誘導する始位相を$\tau_2$とおく．また，$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を$X$上のネットとし，$x_\infty\in X$とする．

• $\tau_1\le \tau_2$：$x_\lambda\to x_\infty$ w.r.t. $\tau_2$のとき，$d\in D$を任意に取ると，どの$c\in X$に対しても$d_c(x_\lambda)\to d_c(x_\infty)$が成り立つから，特に
  $$ d(x_\lambda,x_\infty)=d_{x_\infty}(x_\lambda)\to d_{x_\infty}(x_\infty)=d(x_\infty,x_\infty)=0 $$
  である．よって$x_\lambda\to x_\infty$ w.r.t. $\tau_1$となる．
• $\tau_2\le \tau_1$：$x_\lambda\to x_\infty$ w.r.t. $\tau_1$のとき，任意の$d\in D$と任意の$c\in X$に対して
  $$ \abs{d_c(x_\lambda)-d_c(x_\infty)}=\abs{d(x_\lambda,c)-d(x_\infty,c)}\le d(x_\lambda,x_\infty)\to 0 $$
  が成り立つから，$x_\lambda\to x_\infty$ w.r.t. $\tau_2$となる．

ゲージ位相を$\tau_D$とおく．また，$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を$X$上のネットとし，$x_\infty\in X$とする．

1. $\pair{x_\lambda,y_\lambda}\to \pair{x_\infty,y_\infty}$ w.r.t. $\tau_D\times\tau_D$のとき
   $$ \abs{d(x_\lambda,y_\lambda)-d(x_\infty,y_\infty)}\le d(x_\lambda,x_\infty)+d(y_\lambda,y_\infty)\to 0 $$
   より$d(x_\lambda,y_\lambda)\to d(x_\infty,y_\infty)$である．
2. $d\in D$と$c\in X$を任意に取り，prop-distances-one-argument-fixedの写像$d_c$が連続であることを示せばよい．$x_\lambda\to x_\infty$ w.r.t. $\tau$のとき，$\pair{x_\lambda,c}\to \pair{x_\infty,c}$ w.r.t. $\tau\times\tau$より
   $$ d_c(x_\lambda)=d(x_\lambda,c)\to d(x_\infty,c)=d_c(x_\infty) $$
   となり，$d_c$は連続である．

• $(1)\Rightarrow(2)$：$x,y\in X$が任意の$d\in D$に対して$d(x,y)=0$を満たすとき，定点列$\seq{x}{n}$は明らかに$x,y$の両方に収束するから，(1)より$x=y$である．
• $(2)\Rightarrow(1)$：$X$上のネット$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$が2点$x,y\in X$の両方に収束するとき，もし$x\ne y$であれば(2)より$d(x,y)>0$を満たす$d\in D$が取れるから
  $$ d(x_\lambda,x)+d(x_\lambda,y)\ge d(x,y)\not\to 0 $$
  となり矛盾する．

各$d\in D$と各$\lambda,\mu\in\Lambda$に対して
$$ d(x_\lambda,x_\mu)\le d(x_\lambda,x_\infty)+d(x_\mu,x_\infty) $$
が成り立つから
$$ \limsup_{\pair{\lambda,\mu}\in\Lambda\times\Lambda}d(x_\lambda,x_\mu)\le \limsup_{\lambda\in\Lambda}d(x_\lambda,x_\infty)+\limsup_{\mu\in\Lambda}d(x_\mu,x_\infty)\le 0. $$

$\family{\pair{y_\mu,y_\nu}}{\pair{\mu,\nu}\in M\times M}$は$\family{\pair{x_\lambda,x_\kappa}}{\pair{\lambda,\kappa}\in\Lambda\times\Lambda}$のAA部分ネットだから，各$d\in D$に対して
$$ \limsup_{\pair{\mu,\nu}\in M\times M}d(y_\mu,y_\nu)\le \limsup_{\pair{\lambda,\kappa}\in\Lambda\times\Lambda}d(x_\lambda,x_\kappa)\le 0. $$

各$d\in D$と各$\lambda\in \Lambda$および各$\mu\in M$に対して
$$ d(x_\lambda,y_\infty)\le d(x_\lambda,y_\mu)+d(y_\mu,y_\infty) $$
が成り立つから
$$ \limsup_{\lambda\in\Lambda}d(x_\lambda,y_\infty)\le \limsup_{\pair{\lambda,\mu}\in\Lambda\times M}d(x_\lambda,y_\mu)+\limsup_{\mu\in M}d(y_\mu,y_\infty)\le \limsup_{\pair{\lambda,\mu}\in\Lambda\times M}d(x_\lambda,y_\mu). $$
ところで$\family{\pair{x_\lambda,y_\mu}}{\pair{\lambda,\mu}\in \Lambda\times M}$は$\family{\pair{x_\lambda,x_\kappa}}{\pair{\lambda,\kappa}\in\Lambda\times\Lambda}$のAA部分ネットだから，$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$がコーシーネットであることとあわせて次式を得る：
$$ \limsup_{\pair{\lambda,\mu}\in\Lambda\times M}d(x_\lambda,y_\mu)\le \limsup_{\pair{\lambda,\kappa}\in\Lambda\times\Lambda}d(x_\lambda,x_\kappa)\le 0. $$

$D_X$の空でない有限部分集合全体の集合を$\operatorname{Fin}(D_X)$と書くことにし，これを包含関係によって有向集合とみなす．

• $(1)\Rightarrow(2)$：$d_Y\in D_Y$と$\varepsilon>0$を任意に取る．もし所望の性質を満たす$D\in \operatorname{Fin}(D_X)$と$\delta>0$が存在しなければ，各$\pair{D,\delta}\in \operatorname{Fin}(D_X)\times(0,\infty)$に対して「$\max(\set{d(x_{D,\delta},x_\infty)}{d\in D})<\delta$かつ$d_Y(f(x_{D,\delta}),f(x_\infty))\ge \varepsilon$」を満たす点$x_{D,\delta}\in X$を取ることによって，$X$上のネット$\family{x_{D,\delta}}{\pair{D,\delta}\in\operatorname{Fin}(D_X)\times (0,\infty)}$が得られる（ただし$(0,\infty)$は逆大小関係によって有向集合とみなしている）．このとき各$d_X\in D_X$と$\pair{\{d_X\},1}\preceq \pair{D,\delta}$なる任意の$\pair{D,\delta}\in\operatorname{Fin}(D_X)\times (0,\infty)$に対して$d_X(x_{D,\delta},x_\infty)<\delta$が成り立つから
  $$ \limsup_{\pair{D,\delta}\in\operatorname{Fin}(D_X)\times (0,\infty)}d_X(x_{D,\delta},x_\infty)\le \limsup_{\delta\in(0,\infty)}\delta=0, $$
  つまり$x_{D,\delta}\to x_\infty$である．一方で常に$d_Y(f(x_{D,\delta}),f(x_\infty))\ge \varepsilon$だから$f(x_{D,\delta})\not\to f(x_\infty)$であり，(1)に矛盾する．
• $(2)\Rightarrow(1)$：$X$上のネット$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$が$x_\infty$に収束すると仮定し，$d_Y\in D_Y$と$\varepsilon>0$を任意に取る．このとき(2)よりある$\pair{D,\delta}\in \operatorname{Fin}(D_X)\times(0,\infty)$を取って，$\max(\set{d(x,x_\infty)}{d\in D})<\delta$を満たす任意の$x\in X$に対して$d_Y(f(x),f(x_\infty))<\varepsilon$が成り立つようにできる．いま$x_\lambda\to x_\infty$だから，各$d\in D$に対してある$\lambda_d\in\Lambda$が存在して，$\lambda_d\preceq\lambda$を満たす任意の$\lambda\in\Lambda$に対して$d(x_\lambda,x_\infty)<\delta$が成り立つ．そこで$\set{\lambda_d}{d\in D}$の上界$\lambda_{D}\in\Lambda$を取れば，$\lambda_{D}\preceq\lambda$を満たす任意の$\lambda\in\Lambda$に対して$\max(\set{d(x_\lambda,x_\infty)}{d\in D})<\delta$すなわち$d_Y(f(x_\lambda),f(x_\infty))<\varepsilon$が成り立つ．$d_Y$と$\varepsilon$は任意だったから，これは$f(x_\lambda)\to f(x_\infty)$を意味している．

• $(1)\Rightarrow(2)$：$X$上のネット$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda},\family{x_\lambda'}{\lambda\in\Lambda}$が各$d_X\in D_X$に対して$d_X(x_\lambda,x_\lambda')\to 0$を満たすと仮定し，$d_Y\in D_Y$と$\varepsilon>0$を任意に取る．このとき(1)より$D_X$の空でない有限部分集合$D$と$\delta>0$が存在して，$\max(\set{d(x,x')}{d\in D})<\delta$を満たす任意の$x,x'\in X$に対して$d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$が成り立つ．このとき各$d\in D$に対して$d(x_\lambda,x_\lambda')\to 0$だから，ある$\lambda_{d,\delta}\in\Lambda$が存在して，$\lambda_{d,\delta}\preceq\lambda$を満たす任意の$\lambda\in\Lambda$に対して$d(x_\lambda,x_\lambda')<\delta$が成り立つ．そこで$\set{\lambda_{d,\delta}}{d\in D}$の上界$\lambda_{D,\delta}\in\Lambda$を取れば，$\lambda_{D,\delta}\preceq\lambda$を満たす任意の$\lambda\in\Lambda$に対して$\max(\set{d(x_\lambda,x_\lambda')}{d\in D})<\delta$より$d_Y(f(x_\lambda),f(x_\lambda'))<\varepsilon$が成り立ち，したがって$d_Y(f(x_\lambda),f(x_\lambda'))\to 0$が示された．
• $(2)\Rightarrow(1)$：prop-continuity-in-gaugeの$(1)\Rightarrow(2)$と全く同様に背理法で示せる．

$X$上のネット$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda},\family{x_\lambda'}{\lambda\in\Lambda}$が各$d_X\in D_X$に対して$d_X(x_\lambda,x_\lambda')\to 0$を満たすとき，まず$f$の一様連続性より任意の$d_Y\in D_Y$に対して$d_Y(f(x_\lambda),f(x_\lambda'))\to 0$が成り立つ．すると$g$の一様連続性から任意の$d_Z\in D_Z$に対して$d_Z((g\circ f)(x_\lambda),(g\circ f)(x_\lambda'))\to 0$も成り立つから，$g\circ f$の一様連続性が示された．

$X$上のコーシーネット$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を任意に取る．このとき$\operatorname{pr}_1,\operatorname{pr}_2:\Lambda\times\Lambda\to\Lambda$
$$ \operatorname{pr}_1(\lambda,\mu):=\lambda, \quad \operatorname{pr}_2(\lambda,\mu):=\mu \qquad (\lambda,\mu\in\Lambda)$$
を考えると，各$d_X\in D_X$に対して
$$ d_X(x_{\operatorname{pr}_1(\lambda,\mu)},x_{\operatorname{pr}_2(\lambda,\mu)})=d_X(x_\lambda,x_\mu)\to 0 $$
が成り立つから，$f$の一様連続性より各$d_Y\in D_Y$に対して
$$ d_Y(f(x_\lambda),f(x_\mu))=d_Y(f(x_{\operatorname{pr}_1(\lambda,\mu)}),f(x_{\operatorname{pr}_2(\lambda,\mu)}))\to 0 $$
が成り立つ．すなわち，$\family{f(x_\lambda)}{\lambda\in\Lambda}$はコーシーネットであることが示された．

写像$[0,\infty)\ni t\mapsto t/(1+t)\in[0,1)$の単調性と劣加法性に注意すると，$d$がwell-definedな擬距離であることは容易にわかる．$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda},\family{x_\lambda'}{\lambda\in\Lambda}$を$X$上のネットとする．

• 任意の$n\in\N$に対して$d_n(x_\lambda,x_\lambda')\to 0$が成り立つとき，各$m\in\N$と各$\lambda\in\Lambda$に対して
  \begin{align*} d(x_\lambda,x_\lambda') &\le \sum_{n=0}^{m}\frac{2^{-n}d_n(x_\lambda,x_\lambda')}{1+d_n(x_\lambda,x_\lambda')}+2^{-m} \end{align*}
  が成り立つから
  \begin{align*} \limsup_{\lambda\in\Lambda}d(x_\lambda,x_\lambda') &\le \limsup_{\lambda\in\Lambda}\sum_{n=0}^{m}\frac{2^{-n}d_n(x_\lambda,x_\lambda')}{1+d_n(x_\lambda,x_\lambda')}+2^{-m} =2^{-m} \end{align*}
  である．$m$は任意だったから$d(x_\lambda,x_\lambda')\to 0$であり，$\operatorname{id}_X$は一様連続である．
• $d(x_\lambda,x_\lambda')\to 0$とし，$n\in\N$を任意に取る．このときまずある$\lambda_n\in\Lambda$が存在して，$\lambda_n\preceq\lambda$を満たす任意の$\lambda\in\Lambda$に対して$d(x_\lambda,x_\lambda')<2^{-n}$が成り立つ．また，$d$の定義より
  $$ \frac{d_n(x_\lambda,x_\lambda')}{1+d_n(x_\lambda,x_\lambda')}\le 2^n d(x_\lambda,x_\lambda') $$
  が成り立つ．よって写像$[0,1)\ni t\mapsto t/(1-t)\in[0,\infty)$の単調性から，$\lambda_n\preceq\lambda$を満たす任意の$\lambda\in\Lambda$に対して
  $$ d_n(x_\lambda,x_\lambda')\le \frac{2^n d(x_\lambda,x_\lambda')}{1-2^n d(x_\lambda,x_\lambda')} $$
  であり，特に
  $$ \limsup_{\lambda\in\Lambda}d_n(x_\lambda,x_\lambda')\le\limsup_{\lambda\in\Lambda}\frac{2^n d(x_\lambda,x_\lambda')}{1-2^n d(x_\lambda,x_\lambda')}=0 $$
  だから$\operatorname{id}_X^{-1}$は一様連続である．

$X$上のネット$\family{x_\lambda}{\lambda\in\Lambda},\family{y_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$が任意の$j\in J$と任意の$d\in D_j$に対して
$$ \tilde{d_j}(x_\lambda,y_\lambda)\to 0 $$
を満たすとき，$\tilde{d_{j_0}}$の定義より明らかに，任意の$d\in D_{j_0}$に対して
$$ d(\operatorname{pr}_{j_0}(x_\lambda),\operatorname{pr}_{j_0}(y_\lambda))\to 0 $$
が成り立つ．よって$\operatorname{pr}_{j_0}$は一様連続である．

$X\times X$上のネット$\family{\pair{x_\lambda^1,x_\lambda^2}}{\lambda\in\Lambda},\family{\pair{y_\lambda^1,y_\lambda^2}}{\lambda\in\Lambda}$が任意の$d\in D$に対して
$$ d(x_\lambda^1,y_\lambda^1)\to 0 \quad\text{かつ}\quad d(x_\lambda^2,y_\lambda^2)\to 0 $$
を満たすとき，三角不等式より
$$ \abs{d_0(x_\lambda^1,x_\lambda^2)-d_0(y_\lambda^1,y_\lambda^2)}\le d_0(x_\lambda^1,y_\lambda^1)+d_0(x_\lambda^2,y_\lambda^2)\to 0 $$
となるから，$d_0$は一様連続である．

$V$上のネット$\family{v_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$と点$v_\infty\in V$について，セミノルム位相の定義と$\phi$の線形性より以下が成り立つことから従う：
\begin{align*} v_\lambda\to v_\infty\ \ \text{w.r.t.}\ \ \tau_1 \quad &\iff\quad [\ \text{ 任意の $\phi\in\Phi$ と $p\in P_\phi$ に対して $(p\circ\phi)(v_\lambda-v_\infty)\to 0$ が成り立つ }\ ] \\ &\iff\quad [\ \text{ 任意の $\phi\in\Phi$ に対して $\phi(v_\lambda)\to \phi(v_\infty)$ in $W_\phi$ が成り立つ }\ ] \\ &\iff\quad v_\lambda\to v_\infty\ \ \text{w.r.t.}\ \ \tau_2. \\ \end{align*}

写像$I:\N^N\times\{0,1,\ldots,N\}\to\N^N$を
$$ I(\alpha,j):=\sum_{k=N-j+1}^{N}\alpha_k e_k \qquad (\alpha\in\N^N,\ j\in\{0,1,\ldots,N\}) $$
で定め，各$j\in \{0,1,\ldots,N\}$に対して命題$P(j)$を

任意の$\beta\in\N^N$に対して連続な偏導関数$\partial^{I(\beta,j)}f_{\infty,\bm{0}}$が存在して$f_{\infty,I(\beta,j)}$に一致する．

• $n$に関する帰納法で「$\beta_{N-j}\le n$を満たす任意の$\beta\in\N^N$に対して連続な偏導関数$\partial^{I(\beta,j+1)}f_{\infty,\bm{0}}$が存在して$f_{\infty,I(\beta,j+1)}$に一致する」という命題$Q(n)$を示す．$\beta_{N-j}=0$のとき$I(\beta,j+1)=I(\beta,j)$だから，$Q(0)$は$P(j)$から従う．ある$n\in\N$に対して$Q(n)$が成り立つと仮定し，$Q(n+1)$を示すため$\beta_{N-j}=n+1$を満たす$\beta\in\N^N$を任意に取る．簡単のため$\gamma:=I(\beta,j)+ne_{N-j}$とおくと，$\gamma+e_{N-j}=I(\beta,j+1)$である．このとき$\family{\partial^{\gamma} f_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$は$f_{\infty,\gamma}$に一様収束し，$\family{\partial^{\gamma+e_{N-j}} f_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$は$f_{\infty,\gamma+e_{N-j}}=f_{\infty,I(\beta,j+1)}$に一様収束するから，$f_{\infty,\gamma}$は第$N-j$変数に関して$C^1$級かつ$\partial_{N-j} f_{\infty,\gamma}=f_{\infty,I(\beta,j+1)}$が成り立つ．帰納法の仮定$Q(n)$より$\partial^{\gamma}f_{\infty,\bm{0}}=f_{\infty,\gamma}$が成り立つから
  $$ \partial^{I(\beta,j+1)}f_{\infty,\bm{0}}=\partial_{N-j}\partial^{\gamma}f_{\infty,\bm{0}}=\partial_{N-j} f_{\infty,\gamma}=f_{\infty,I(\beta,j+1)} $$
  となり，$Q(n+1)$を得る．

$\mathcal{S}(\R^N)$のコーシーネット$\family{f_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$を任意に取る．このとき，各$\alpha,\beta\in\N^N$に対して
\begin{align*} p_{\alpha,\beta}(f_\lambda-f_\mu) &=\norm{M^\alpha D^\beta f_\lambda-M^\alpha D^\beta f_\mu}_{\infty} \\ &=\norm{M^\alpha \partial^\beta f_\lambda-M^\alpha \partial^\beta f_\mu}_{\infty} \end{align*}
が成り立つから$\family{M^\alpha \partial^\beta f_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$は$C_{\mathrm{b}}^0(\R^N)$のコーシーネットであり，したがってある関数$f_{\alpha,\beta}\in C_{\mathrm{b}}^0(\R^N)$に一様収束する．すると項別微分より，$f_{\bm{0},\bm{0}}\in C^\infty(\R^N)$であることと，各$\beta\in\N^N$に対して$\partial^\beta f_{\bm{0},\bm{0}}=f_{\bm{0},\beta}$であることがわかる．さらに$\family{M^\alpha \partial^\beta f_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$の各点収束極限の一意性より，各$\alpha,\beta\in\N^N$に対して$M^\alpha \partial^\beta f_{\bm{0},\bm{0}}=f_{\alpha,\beta}$であることもわかる．したがって$f_{\bm{0},\bm{0}}\in\mathcal{S}(\R^N)$かつ$f_\lambda\to f_{\bm{0},\bm{0}}$ in $\mathcal{S}(\R^N)$であることが示された．

積の微分公式より，任意の$f\in C^\infty(\R^N)$と$x\in\R^N$に対して
$$ \partial^\beta(x^\alpha f(x))=\sum_{\gamma\le \alpha\wedge\beta}\binom{\beta}{\gamma}\frac{\alpha!}{(\alpha-\gamma)!}x^{\alpha-\gamma}\partial^{\beta-\gamma}f(x) $$
が成り立つから
$$ D^\beta M^\alpha=\sum_{\gamma\le \alpha\wedge\beta}(-i)^{\abs{\gamma}}\binom{\beta}{\gamma}\frac{\alpha!}{(\alpha-\gamma)!}M^{\alpha-\gamma}D^{\beta-\gamma} $$
である．

$C_c^{\infty}(\R^N)\subset\mathcal{S}(\R^N)$は明らか．$p=\infty$の場合$\mathcal{S}(\R^N)\subset L^\infty(\R^N)$は明らかだから，$p<\infty$の場合に$\mathcal{S}(\R^N)\subset L^p(\R^N)$を示せば十分．各$f\in\mathcal{S}(\R^N)$に対して，binomial-inequalityよりある定数$C_{N}>0$を用いて
\begin{align*} \Int{\R^N}{\abs{f(x)}^p}{x} &\le C_{N}^{p}\Paren{\sum_{\abs{\rho}\le N+1}p_{\rho,\bm{0}}(f)}^p\Int{\R^N}{(1+\abs{x})^{-(N+1)p}}{x} <\infty \end{align*}
と評価できるから$f\in L^p(\R^N)$であり，この評価は包含写像$\mathcal{S}(\R^N)\hookrightarrow L^p(\R^N)$の連続性も意味している．

$\abs{\alpha}=1$の場合のみ示せばよい．球$B_R=\set{x\in\R^N}{\abs{x}< R}$上での部分積分により，球面の各点$x\in\partial B_R$における外向き単位法線ベクトルを$\nu(x)$とすれば
\begin{align*} \Int{B_R}{\frac{\partial}{\partial x_j}(e^{-i\abra{x,\xi}}) f(x)}{x} &=-\Int{B_R}{e^{-i\abra{x,\xi}}\frac{\partial}{\partial x_j}f(x)}{x} +\Int{\partial B_R}{e^{-i\abra{x,\xi}} f(x)\nu_j(x)}{S(x)}, \\ \xi_j\Int{B_R}{e^{-i\abra{x,\xi}} f(x)}{x} &=\Int{B_R}{e^{-i\abra{x,\xi}}(-i)\frac{\partial}{\partial x_j}f(x)}{x} +i\Int{\partial B_R}{e^{-i\abra{x,\xi}} f(x)\nu_j(x)}{S(x)} \end{align*}
が成り立つ．ここで境界項については，binomial-inequalityよりある定数$C_{N}>0$を用いて
\begin{align*} \Abs{\Int{\partial B_R}{e^{-i\abra{x,\xi}} f(x)\nu_j(x)}{S(x)}} &\le \Int{\partial B_R}{\abs{f(x)}}{S(x)} \\ &\le C_{N}\sum_{\abs{\rho}\le N}p_{\rho,\bm{0}}(f)(1+R)^{-N}\cdot \abs{\partial B_1}R^{N-1} \\ &\le C_{N}\sum_{\abs{\rho}\le N}p_{\rho,\bm{0}}(f)\abs{\partial B_1}(1+R)^{-1} \end{align*}
と評価できる．よって$R\to\infty$の極限を取れば，境界項は$0$に収束し，所望の等式を得る．

$\alpha,\beta\in\N^N$を任意に取る．このときrelation-monomial-differentialより，空でない有限集合$I\subset \N^N\times\N^N$と写像$a_{\bullet}:I\to\C$が存在して，任意の$f\in\mathcal{S}(\R^N)$に対して
\begin{align*} p_{\alpha,\beta}(\mathcal{F}f) &=\norm{(M^\alpha D^\beta)(\mathcal{F}f)}_{\infty} \\ &=\norm{\mathcal{F}(D^\alpha M^\beta f)}_{\infty} \\ &=\Norm{\mathcal{F}\Paren{\sum_{\pair{\gamma,\delta}\in I}a_{\gamma,\delta} M^\gamma D^\delta f}}_{\infty} \\ &\le \sum_{\pair{\gamma,\delta}\in I}\abs{a_{\gamma,\delta}}\norm{\mathcal{F}(M^\gamma D^\delta f)}_{\infty} \\ &\le \frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\sum_{\pair{\gamma,\delta}\in I}\abs{a_{\gamma,\delta}}\norm{M^\gamma D^\delta f}_{1} \\ &\le \frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\sum_{\pair{\gamma,\delta}\in I}\abs{a_{\gamma,\delta}}C_{\gamma,\delta}\max(\set{p_{\epsilon,\zeta}(f)}{\pair{\epsilon,\zeta}\in I_{\gamma,\delta}}) \\ &\le \frac{1}{(2\pi)^{N/2}}\Paren{\sum_{\pair{\gamma,\delta}\in I}\abs{a_{\gamma,\delta}}C_{\gamma,\delta}}\max(\set{p_{\epsilon,\zeta}(f)}{\pair{\gamma,\delta}\in I,\ \pair{\epsilon,\zeta}\in I_{\gamma,\delta}}) \end{align*}
と評価できる．ただし，各$\pair{\gamma,\delta}\in I$に対して線形写像$M^\gamma D^\delta:\mathcal{S}(\R^N)\to L^1(\R^N)$の連続性より，ある定数$C_{\gamma,\delta}>0$と空でない有限集合$I_{\gamma,\delta}\subset \N^N\times\N^N$が存在して
\begin{align*} \norm{M^\gamma D^\delta f}_{1} &\le C_{\gamma,\delta}\max(\set{p_{\epsilon,\zeta}(f)}{\pair{\epsilon,\zeta}\in I_{\gamma,\delta}}) \end{align*}
と評価できることを途中で用いた．