整数問題【Math4A-2026】

$q=2$だと大小比較で詰むので、$q$は奇数です。$p$が奇数であるとします。このとき$n$は偶数です。

(i) $v_2(p^q+1)=v_2((p^2)!)$のとき
$v_2(p^q+1)=v_2(p+1)$なので、ルジャンドルの定理などから$v_2((p^2)!)>p$などが示せるので、$v_2(p+1)< p< v_2((p^2)!)$です。

(ii) そうでないとき
$p \leq \min(v_2(p^q+1),v_2((p^2)!))$が成り立ちますが、$v_2(p^q+1)=v_2(p+1)< p$なので矛盾です。

よって$p=2$に限られます。

$x\geq 5$ であり $y$ は奇数であることはすぐにわかります。二次体とその整数環
$$ K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23}) ,\qquad \mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\omega], \qquad \omega=\frac{1+\sqrt{-23}}{2}$$
を考えます。ここで$ \alpha=\frac{y+\sqrt{-23}}{2}\in\mathcal{O}_K $とおくと、$N(\alpha)=2^{x-2}$となり、よってイデアルについて
$$ (\alpha)(\overline{\alpha})=(2)^{x-2} $$
となります。右辺を素イデアル分解します。

$\omega$ の最小多項式は$ f(T)=T^2-T+6 $なので、$ f(T)\equiv T(T-1)\pmod 2 $となります。よって
$$ (2)=\mathfrak p\mathfrak q =(2,\omega)(2,\omega-1)$$
と分解されます。
また、$(\alpha)$ と $(\overline{\alpha})$ は互いに素です。したがって、素イデアル分解の一意性により、
$$ (\alpha)=\mathfrak p^{x-2} \quad \text{or}\quad \mathfrak q^{x-2}$$
です。
$$ \mathfrak p^3=(\omega-2), \qquad \mathfrak q^3=(\omega+1) $$
が計算により確認できます。ここで、$\mathfrak p$ は単項イデアルではないことが確認できるので、$(\alpha)$ が単項イデアルであることを踏まえると、$ 3\mid x-2 $ となります。したがって、ある正整数 $m$ を用いて$ x=3m+2 $となりますが、$m$が奇数であることも元の方程式での$\mod 3$から示せます。ここで、
$$ \beta=\omega+1=\frac{3+\sqrt{-23}}{2} $$
とします。$\mathfrak q^3=(\beta)$ なので、必要なら共役を取り、$ (\alpha)=(\beta^m) $とできます。
$\mathcal{O}_K$ の単元は $\pm1$ のみなので、$ \alpha=\pm\beta^m $またはその共役です。よって、

$$ \frac{\beta^m-\bar{\beta}^{m}} {\beta-\overline{\beta}} =\pm 1$$

となります。以下の補題2を用いると、$m=1,3$、つまり$x=5,11$なので、おわり。

左辺を$U_m$とおくと、
$$ U_0=0, \qquad U_1=1, \qquad U_{n+2}=3U_{n+1}-8U_n $$
となる。$m$ は奇数なので、$ U_m\equiv1\pmod 8 $であり、$U_m=1$ が従う。
ここで、
$$ A= \begin{pmatrix} 3&-8\\ 1&0 \end{pmatrix} $$
とおくと、
$$ \begin{pmatrix} U_{n+1}\\ U_n \end{pmatrix} =A^n \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} ,\qquad A^5= \begin{pmatrix} -45&568\\ -71&168 \end{pmatrix}$$
なので、$m=5q+r$、$0\leq r<5$ と書くと、
$$ A^5\equiv26I\pmod{71},\qquad U_m \equiv26^qU_r\pmod{71} $$
ここで、$ 26^7\equiv-1\pmod{71} $なので、$26$ の $\mod 71$ における位数は $14$ である。$U_m=1$ とすると、$r=0,2,4$が不可能であることが$\mod 71$によりわかる。また、$r=1,3$のとき$14 \mid q$であることが同様にわかる。つまり、
$$ r\in\{1,3\}, \qquad 14\mid q$$
である。したがって、ある非負整数 $t$ によって$ m=70t+r, \quad (r\in\{1,3\}) $と書ける。
次に、$t>0$ は不可能であることを示す。
先ほどの $A^5$ は、
$$ A^5=26I+71C, \qquad C= \begin{pmatrix} -1&8\\ -1&2 \end{pmatrix} $$
と書ける。
さらに、$ 26^7\equiv-1\pmod{71^2} ,\quad 26^{14}\equiv1\pmod{71^2}$であり、二項展開により、
$$ \begin{aligned} A^{70} &=(A^5)^{14}\\ &=(26I+71C)^{14}\\ &\equiv 26^{14}I+14\cdot26^{13}\cdot71C \\&\equiv I+71D\pmod{71^2} \end{aligned} $$
である。ここで、
$$ D=6C= \begin{pmatrix} -6&48\\ -6&12 \end{pmatrix} $$
である。$t>0,\ \ e=v_{71}(t) $とおく。このとき、二項展開によって
$$ (A^{70})^t \equiv I+71tD \pmod{71^{e+2}} $$
となる。

(i) $r=1$ の場合
$$ \begin{pmatrix} U_2\\ U_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix},\qquad D \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 30\\ -6 \end{pmatrix}$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} U_{70t+2}\\ U_{70t+1} \end{pmatrix} &= (A^{70})^t \begin{pmatrix} U_2\\ U_1 \end{pmatrix}\\ &\equiv \left(I+71tD\right) \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} \pmod{71^{e+2}} \end{aligned} $$
第2成分を比較すると、$ U_{70t+1}-1\equiv -6\cdot71t \pmod{71^{e+2}} $
$71\nmid6$ かつ $v_{71}(t)=e$ なので、右辺は $71^{e+2}$ では割り切れない。よって、$ U_{70t+1}\neq U_1=1 $

(ii) $r=3$ の場合

$$ \begin{pmatrix} U_4\\ U_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -21\\ 1 \end{pmatrix},\qquad D \begin{pmatrix} -21\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 174\\ 138 \end{pmatrix}$$
であるから、同様に$ U_{70t+3}-1 \equiv138\cdot71t \pmod{71^{e+2}}$
$71\nmid138$ であるから、右辺は $71^{e+2}$ では割り切れない。よって、$ U_{70t+3}\neq U_3=1$

以上より、$t>0$ の場合には $U_m=1$ とはならない。よって$U_m=\pm 1$なら$m=1,3$であり、逆の確認は容易。