Skyrme模型の基礎

【修正履歴】
22Jul.2023: 「Skyrme解」の章の$B^0$の表式を修正しました。そのほか軽微な修正を行いました。
16Nov.2023: 「トポロジカルな側面」の章における軽微な間違いを修正しました

Skyrme模型のことを書きます。最初の章は物理のお話であることをご了承ください。

Skyrme模型の概要

Skyrme模型は核子（=陽子・中性子）をパイ中間子のソリトンとして記述する模型であり、1961年にSkyrmeにより提唱されました(Ref.ref1)。核子はフェルミオン、パイ中間子はメソンという粒子であり、これらは統計性（2粒子交換に対する性質、ひいては状態占有の性質）が違います。そしてフェルミオンの複合粒子としてメソンを作ることはできますが、メソンの複合粒子としてフェルミオンを記述することは有限個のメソンの組み合わせではできません。しかしSkyrme模型はうまくできているもので、メソンからフェルミオンを構成します。核子を中間子のソリトンとして記述するこの模型は、「核子と中間子の統一理論」と言えます。

しかし現在では、核子や中間子などのハドロンと呼ばれる粒子は、クォーク・グルーオンからなる複合粒子であるという描像が確立しています。そしてクォーク・グルーオンは量子色力学（Quantum Chromo-Dynamics, QCD）により記述されます。高エネルギーの仮想光子によりハドロンの内部構造を探ることができますが、その構造を記述する構造関数は、QCDにより記述できることがわかっています。またQCDの対称性を反映した低エネルギー有効理論であるカイラル摂動論の成功、QCDの古典解であるインスタントンがカイラル対称性の破れを説明することなども、QCDがハドロンを記述することを物語っています。さらにQCDの数値計算である格子QCDを用いることで、QCDの真空の性質、様々なハドロンの質量スペクトルやその他の性質を計算することができ、その結果は実験と整合的であることがわかっています。

ではSkyrme模型は意味のない理論になってしまったかというとそうではないです。むしろSkyrme模型は長い研究の歴史においてQCDの低エネルギー有効理論としての地位を確立し、また純粋に理論的にも興味深い研究対象となりました。

't HooftやWittenにより、QCDはそのゲージ群$N$が大きい極限（ラージ$N$極限）ではメソンが弱く相互作用する理論となることが知られています(Ref.ref2ref3)。そのような極限においてバリオンはソリトンとして実現します。このことから、Skyrme模型はラージ$N$極限におけるバリオン描像を与えると考えられています。Adkins, Nappiおよび Wittenは1980年代前半にSkyrme模型を量子化して核子の性質を調べ、様々な物理量がこの模型において比較的よく再現されることを示しました(Ref.ref4ref5)。ラージ$N$極限で厳密な理論となるSkyrmionは、現実の$N=3$ではおおよそ$1/3$程度のエラーを含むと予想されますが、Adkins、 Nappi, Wittenの計算結果はこれと整合的です。

近年ではゲージ/重力対応による「QCDの重力双対理論」、また高次元重力から誘導されたメソンの有効作用とSkyrmionとの関係が調べられています。「酒井・杉本模型」はゲージ/重力対応に基づくQCDの模型であり、超弦理論からトップダウン的に得られます。それにも関わらず、様々なメソンの現象論的性質を再現し、大変成功している模型です(Ref.ref6)。この模型におけるメソンの有効作用を用いたバリオンの実現に、5次元のインスタントンやSkyrmion的描像が用いられ、その現象論的な解析がなされました。さらに、これと類似した、高次元重力から誘導されたメソン系におけるSkyrmionとしてのバリオンの研究がSuttcliffeらによりなされています(Ref.ref7ref8ref9)。最近では、このアプローチにより、ρメソンと呼ばれるベクトルメソンを取り込んだSkyrme模型が、原子核の性質として重要なクラスター性を再現することがわかっています(Ref.ref9)。特に、現在の宇宙における炭素の存在量を説明するのに重要なHoyle stateと呼ばれる炭素12の励起状態に類似の状態を再現することは興味深いです(Ref.ref8)。

近年の重要な話題として、物性系におけるスピン励起としてのSkyrmionがあります。これは実験的に実際に作ることが可能であり、その点が核子の模型としてのSkyrmionとは一線を画します。このようなSkyrmion −磁気スキルミオン− は磁性体における通常の磁区よりも安定な不連続磁気状態を作り出すことが可能であり、磁気記録媒体への応用として重要視されているようです（Ref.ref10）。

マイナーどころではメジャーな話としてSkyrme blackholeなるものがあります(Ref.ref11)。これはブラックホール解の外側にSkyrmionの配位をもつブラックホールです。無限遠でフラットな時空になる安定なブラックホールを特徴づける物理量は質量・電荷・角運動量しかない、という"no-hair theorem"という定理がありますが(Ref.ref12ref13ref14ref15)、Skyrme blackholeはバリオン荷を持つので、その例外となっています。ただしブラックホールの内部から連続的にメソン場が存在するわけではないので、内部情報をもたらしているわけではないです。しかし外部のオブザーバーからすればブラックホールがバリオン荷を持っているのと変わらないです。また現実に観測されるような巨大ブラックホールでは、安定性の議論からSkyrme blackholeは存在しません。

外観はここまでにして、以下模型の基礎事項をいくつか書きます。主にRef.ref16を参考にしています。

非線形表現

以下flat spaceを考え、Minkowski metricを${\eta }_{\mu \nu }:=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,-1,-1,-1)$とします。

非線形シグマ模型は以下のラグランジアンで与えられる理論です:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathcal{L}=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\sigma {\partial }^{\mu }\sigma +\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }\overrightarrow{\pi }\cdot {\partial }^{\mu }\overrightarrow{\pi }+V({\sigma }^2+{\overrightarrow{\pi }}^2),{\sigma }^2+{\overrightarrow{\pi }}^2=f_{\pi }^2\end{array}$$
ここで$V$はポテンシャル項であり、下限を持つとします。この理論は次のような変換に対して不変です

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\sigma \to \sigma \\ \overrightarrow{\pi }\to \overrightarrow{\pi }-(\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{\pi })\end{array}\end{array}$$

もうひとつ

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}\sigma & \to \sigma -\overrightarrow{\beta }\cdot \overrightarrow{\pi }\\ \overrightarrow{\pi }& \to \overrightarrow{\pi }+\overrightarrow{\beta }\sigma \end{array}\end{array}$$

に対しても不変です。

次のような表現をとります：

$$U=(\sigma +i\tau \cdot \overrightarrow{\pi })/f_{\pi }$$

そしてラグランジアンを

$$\mathcal{L}=\frac{f_{\pi }^2}{4}\mathrm{t}\mathrm{r}({\partial }_{\mu }U{\partial }^{\mu }{U}^{†})$$

とします。これはEq.(1)の第１・２項を再現します。

このラグランジアンは以下の$SU(2{)}_L\times SU(2{)}_R$変換の不変性を有します：

$$U\to \exp \left(i{Q}_L\right)U\exp (-i{Q}_R)$$

ここで$Q_R=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta })\cdot \tau ,Q_L=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\alpha }-\overrightarrow{\beta })\cdot \tau$。これは上記の変換のスピン(1/2,1/2)表現に対応します。Mauler-Cartan 1 form
$$\begin{array}{r}{R}_{\mu }:={\partial }_{\mu }U{U}^{†},L_{\mu }:=U^{†}{\partial }_{\mu }U\end{array}$$
を定義すればそれぞれ$Q_R$による変換と$Q_L$による変換に関して不変です。この$R$または$L$を用いることも多いです。

Skyrme項

この系の古典的な局所解＝ソリトン解を探すことにします。しかしこの系の局所的な解は、3次元以上だとDerrickの定理により不安定です(Ref.ref17-2)。Derrickの定理とは次のような定理です: 場$\theta (\mathit{x},t)$に対し、静的なconfigurationの場合エネルギーが
$$\begin{array}{r}E=\int d^{3}x[(\mathrm{\nabla }\theta {)}^2+V(\theta )](V\text{は下限の存在するポテンシャル})\end{array}$$
で表されるとします。また$\theta (\mathit{x})$は$\delta E=0$の静的な局所解とします。このとき$\theta (\mathit{x})\to \theta (\lambda \mathit{x})$というスケール変換に対し、空間次元が2以上なら$E$は不安定であり、${\delta }^{2}E(\theta )<0$であることが証明できます。すなわち、最初はモコッとした山状の解であったとしても、空間3次元ならば時間経過と共に解はノペーっと広がっていってしまいます。

そこで次のような微分の4次の項を導入します：

$$\frac{{ϵ}^2}{4}\mathrm{t}\mathrm{r}([{\partial }_{\mu }U,{\partial }_{\nu }U{]}^2)$$

この項はSkyrme termと呼ばれ、Skyrmionの安定性に重要です。そしてこの場合には3次元でも安定解の存在の可能性は排除されません。そこで以下

$$\mathcal{L}=\frac{f_{\pi }^2}{4}\mathrm{t}\mathrm{r}({\partial }_{\mu }U{\partial }^{\mu }{U}^{†})+\frac{1}{4}{ϵ}^2\mathrm{t}\mathrm{r}([{\partial }_{\mu }U,{\partial }_{\nu }U{]}^2)$$

の系を考えます。これは$L_{\mu }:=U^{†}{\partial }_{\mu }U$を用いると
$$\mathcal{L}=-\frac{f_{\pi }^2}{4}\mathrm{t}\mathrm{r}(L_{\mu }{L}^{\mu })+\frac{1}{4}{ϵ}^2\mathrm{t}\mathrm{r}([L_{\mu },L_{\nu }{]}^2)$$
とも書けます。変形に${\partial }_{\mu }(U^{†}U)={\partial }_{\mu }(\mathbf{1})=0$を用いています。

以下ではパイオン質量がゼロの表式を扱いますが、質量を導入することは簡単にできて、Lagrangianに
$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}{m}_{\pi }^2{f}_{\pi }^2(\mathrm{t}\mathrm{r}U-2)\end{array}$$
を加えればよいです。

トポロジカルな側面

微分可能な写像$\mathrm{\Psi }:X\to Y$（$X,Y$は閉じた可微分多様体。$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}X=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}Y=d$）によるtopological degree $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{\Psi }$を導入します(Ref.ref17)。

まず$\mathrm{\Omega }$は$Y$上で規格化された体積に関する微分形式であり
$$\begin{array}{r}{\int }_Y\mathrm{\Omega }=1\end{array}$$
を満たすとします。${\mathrm{\Psi }}^{\ast }(\mathrm{\Omega })$はmap $\mathrm{\Psi }$による$X$への$\mathrm{\Omega }$の引き戻しだとします。もしも
$$\begin{array}{r}\mathrm{\Omega }=\beta (\mathit{y})d{y}^1\wedge d{y}^2\wedge \cdots \wedge d{y}^d\end{array}$$
であり、かつ$\mathrm{\Omega }(\mathit{y})$が$\mathit{y}(\mathit{x})$のように$X$の座標で表されているならば
$$\begin{array}{r}{\mathrm{\Psi }}^{\ast }(\mathrm{\Omega })=\beta (\mathit{y}(\mathit{x}))\frac{\partial y^1}{\partial x^j}d{x}^j\wedge \frac{\partial y^2}{\partial x^k}d{x}^k\wedge \cdots \wedge \frac{\partial y^d}{\partial x^l}d{x}^l\\ =\beta (\mathit{y}(\mathit{x}))\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\right)d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge \cdots \wedge d{x}^d\end{array}$$
このとき$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{\Psi }$は
$$\begin{array}{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{\Psi }={\int }_X{\mathrm{\Psi }}^{\ast }(\mathrm{\Omega })\end{array}$$
となります。この量はmap $\mathrm{\Psi }$のtopological degreeと呼ばれ整数です。連続変形に対して整数は変化できないため、この量は$\mathrm{\Psi }$のhomotopy invariantです。

Skyrmionの話に戻ります。
$U(x)$はその空間依存性を考えれば$R^3\to SU(2)\sim S^3$の写像です。ここで無限遠における境界条件として$U(|\overrightarrow{x}|\to \mathrm{\infty })=0$とすれば、無限遠を一点にして$R^3$を$S^3$にみなせます。ここでホモトピー${\pi }_3(S^2)=\mathbb{Z}$より、$U(x)$は整数でトポロジカルに分類されることがわかります。このときmap $U$のtopogogical degreeは
$$\begin{array}{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}U=\frac{1}{24{\pi }^2}{\int }_X\mathrm{t}\mathrm{r}[(dU{U}^{-1})\wedge (dU{U}^{-1})\wedge (dU{U}^{-1})]\end{array}$$
となります。これは上記したように整数になります。

ここで
$$\begin{array}{r}{B}^{\mu }:=\frac{i}{24{\pi }^2}{ϵ}^{\mu \nu \alpha \beta }\mathrm{t}\mathrm{r}[L_{\nu }{L}_{\alpha }{L}_{\beta }],L_{\mu }:=U^{†}{\partial }_{\mu }U\end{array}$$
を定義すると、staticなSkyrmionに対し
$$\begin{array}{r}B:=\int d^{3}x{B}^0\end{array}$$
はtopological degreeであり整数です。よって$B$はトポロジカルな不変量であることがわかります。

Skyrmionのエネルギーと$B$には関係があります。系のエネルギーは、Skyrmionがstaticな場合
$$\begin{array}{rl}E& =-\int d^{3}x\mathcal{L}\\ & =\int d^{3}x\{-\frac{1}{4}{f}_{\pi }^2\mathrm{t}\mathrm{r}[L_i^2]-\frac{1}{4}{ϵ}^2\mathrm{t}\mathrm{r}[L_i,L_j{]}^2\}\end{array}$$
と表せます。これに関してBogomol’nyi completion（$\simeq$平方完成）を行うと、
$$\begin{array}{r}E=-\frac{f_{\pi }^2}{4}\int d^{3}x\mathrm{t}\mathrm{r}[L_i^2+\frac{{ϵ}^2}{f_{\pi }^2}(\sqrt{2}{ϵ}_{ijk}{L}_j{L}_k{)}^2]\ge \frac{f_{\pi }^2}{4}\int d^{3}x\left|\mathrm{t}\mathrm{r}\left(\mathrm{t}\mathrm{r}\frac{2\sqrt{2}ϵ}{f_{\pi }}{ϵ}_{ijk}{L}_i{L}_j{L}_k\right)\right|\end{array}$$
となります。つまり、エネルギーがトポロジカルな不変量で下から制限されます。これはBPS boundと呼ばれます。

これより
$$\begin{array}{r}E\ge 12\sqrt{2}{\pi }^2ϵf_{\pi }|B|\end{array}$$
が成立します。すなわち$B$はエネルギーの下限を定めます。ただしSkyrme解は不等式のイコールを満たす解というわけではないので、解の安定性はそれほど自明ではありません。

そして本記事では述べませんが、$B$はバリオン荷に対応します。この事実は、Skyrme模型に低エネルギー有効理論におけるanomalyを表す項であるWess-Zumino-Witten項をとりこみ、これを$U_V(1)$ゲージ化することから得られるNoether currentを計算することでわかります。これはまた別の記事で議論します。

Skyrme解

Skyrme模型の運動方程式（EoM）は以下です：
$$\begin{array}{r}{\partial }^{\mu }{L}_{\mu }-2\frac{{ϵ}^2}{f_{\pi }^2}{\partial }^{\mu }[L_{\nu },[L_{\mu },L_{\nu }]]=0\end{array}$$

この系に存在するソリトン解 −Skyrme解− を求めたいのですが、解析的には不可能なので数値計算をします。その際によく用いられるanzatzが以下のhedgehog ansatzです:

$$U(x)=\exp (i\overrightarrow{\tau }\cdot \hat{r}f(r)/f_{\pi })$$

これをラグランジアンに代入し整理すると以下を得ます（$s:=\sin f$）：
$$\begin{array}{r}\mathcal{L}=\frac{1}{4}{f}_{\pi }^2(-2f^{\prime 2}-\frac{4}{r^2}{s}^2)+\frac{1}{4}{ϵ}^2(-\frac{32}{r^2}{s}^2{f}^{\prime 2}-\frac{16}{r^4}{s}^4)\end{array}$$

エネルギーは以下のように表せます：
$$\begin{array}{rl}E& =-\int d^{3}x\mathcal{L}\\ & =4\pi \int dr{r}^2[\frac{f_{\pi }^2}{2}(f^{\prime 2}+\frac{2}{r^2}{s}^2)+4{ϵ}^2\frac{s^2}{r^2}(2f^{\prime 2}+\frac{s^2}{r^2})]\end{array}$$

運動方程式はエネルギーの変分をゼロにする条件から
$$\begin{array}{r}\frac{1}{4}{r}^2{f}^{″}+\frac{1}{2}r{f}^{\prime }-\frac{1}{4}\sin 2f+\frac{2{ϵ}^2}{f_{\pi }^2}(\sin 2f{f}^{\prime 2}+2s^2{f}^{″}-\frac{\sin 2f}{r^2}{s}^2)=0\end{array}$$

となります。$B^0$は以下のように表せます：
$$\begin{array}{r}{B}^0=-\frac{1}{2{\pi }^2{r}^2}{f}^{\prime }{s}^2\end{array}$$

境界条件として$f(r=0)=\pi ,f(r\to \mathrm{\infty })=0$を課してEoMを解きます。図１は現実的なパイオン質量におけるSkyrme解です（Ref.ref5のパラメータを使用: $m_{\pi }=138\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V},f_{\pi }=54\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V},{ϵ}^2=0.005336$）。

現実のパイオン質量におけるSkyrme解。Ref.[2]のパラメータを用いた計算。

ちなみに$B\ge 2$のSkyrme解を求める際には、よりよいanzatzとしてrational map ansatzがあります(Ref.ref18)。$B\ge 2$ではエネルギー最小の状態は球対称ではなく、例えば$B=2$では軸対称であることが知られています(Ref.ref17)。rational map ansatzは非球対称解を表現することができ、実際に大変良い近似となることが知られています。

まとめ

核子を中間子のソリトンとして記述するSkyrme模型の基礎的な事項: 研究の歴史、Lagrangianと対称性、Skyrme項による安定化、トポロジカルな側面、hedgehog ansatzによる数値計算に関して書きました。

ここでは説明していない事項のうち重要なものに、Wess-Zumino-Witten項とanomalyの関係があります。これに関してはそのうち記事にします。

おしまい。${}_{◼}$

(注1) $F_{\pi }:=2f_{\pi }$を使うことも多いです。またMinkowski metricの定義に依存して初項の符号は変わります。
(注2) 実施には$r=0$において$f,f^{\prime }$を与え、$f^{\prime }$を変えながら計算し、$f(r\to \mathrm{\infty })=0$を満たす解を求める「シューティング法」を用いることが多いです。