京大数学系院試2005年度専門問1解答

$\mathfrak{m}$を$\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$の極大イデアルとする．東大数理2007年度専門問2と同様に，素数$p$があって$\mathfrak{m}\cap \mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$となる．よって$\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]/(p)\cong {\mathbb{F}}_p[x_1,\dots ,x_n]=:R$の極大イデアルが$n$個の元で生成されることを示せば良い．
改めて$\mathfrak{m}$を$R$の極大イデアルとする．$R/\mathfrak{m}$は体であり，有限生成${\mathbb{F}}_p$代数だから，Zariski の補題より${\mathbb{F}}_p$上の有限次拡大である．よって$x_i$の$R/\mathfrak{m}$における同値類を$y_i$とおくと，$y_i$の${\mathbb{F}}_p$上最小多項式$f_i(x)$が存在する．この時$f_i(y_i)=0$より$f_i(x_i)\in \mathfrak{m}$だから，$\mathfrak{m}$は$R$上一次独立な$n$個の元$f_i(x_i)$を含む．一方$R/(f_1(x_1),\dots ,f_n(x_n))$は体なので，$(f_1(x_1),\dots ,f_n(x_n))$は$R$の極大イデアルである．従って$\mathfrak{m}=(f_1(x_1),\dots ,f_n(x_n))$だから示された．