線型代数学その1　行列

$m,n \in \mathbb{N}$ に対して, $mn$個の $a_{ij} \in \mathbb{C} \quad(i=1,...,m ~,~ j=1,...,n)$ を以下のように並べたものを, (複素)$m \times n$ 行列（matrix）という.

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

以下この行列をAとする.

• $a_{ij}$ を行列Aの (i,j)成分 ($(i,j)$-component) という.
• $(a_{i1},...,a_{in})$ を行列Aの 第i行 (i-th row)という
• $(a_{1j},...,a_{mj})$ を行列Aの 第j列 (j-th column)という.
• 行列の成分が全て実数であるとき, 実行列 (real matrix) という.
• Aを $(a_{ij})_{ij}$ と書くこともある.
  (混同の恐れがないとき$(a_{ij})$と略記することもある.)
• (m,n) をAの 型 という.
  ($m \times n$ 行列 を (m,n)型行列と言ったりもする.)
• すべての成分が0である$m \times n$行列を 零行列 (zero matrix) といい, $O_{m,n}$と書く.
  (混同の恐れがないとき, 単に $O$ と書く.)

$A=(a_{ij}):m\times n$行列 $, B=(b_{ij}):k \times l$行列

二つの行列$A$と$B$が 等しい とは, 次の二つの条件を満たすことである.

1. $m=k$ かつ $n=l$ (つまり二つの行列の型が等しい.)
2. 任意の $1\leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$ に対して, $a_{ij}=b_{ij}$

このとき, A=B と表記する.

$A=(a_{ij}):m\times n$行列$, B=(b_{ij}):m\times n$行列

$A$と$B$の 和 (sum) とは, (i,j)成分が $a_{ij}+b_{ij}$ となっている $m \times n$行列のことである.

この行列を $A+B$ と表記する.

$A+B=$ $\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix}$

$A=(a_{ij}):m\times n$行列$, c\in\mathbb{C}$

$A$の ｃ倍 とは, $(i,j)$成分が $ca_{ij}$ となっている$m\times n$行列のことである.

この行列を $cA$ と表記する.

$cA=$ $\begin{pmatrix} ca_{11} & ca_{12} & \cdots & ca_{1n}\\ ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn} \end{pmatrix}$

$A=(a_{ij}):m\times n$行列 , $ B=(b_{ij}):n\times l$行列

$A$と$B$の 積 (product) とは, $(i,j)$成分が
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$ となっている $m\times l$行列のことである.

この行列を $AB$ と表記する.

$AB= \begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{k1} & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{k2} & \cdots & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{1k}b_{kl} \\ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{k1} & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{k2} & \cdots & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{2k}b_{kl} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{mk}b_{k1} & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{mk}b_{k2} & \cdots & \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{mk}b_{kl} \end{pmatrix}$

$A=(a_{ij}):m\times n$行列.

$A$を, $p-1$本の横線と$q-1$本の縦線によって, $pq$個の区画に分ける. 上から$i$番目, 左から$j$番目の区画の行列を$A_{ij}$とするとき,

$A= \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1q}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2q}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{p1}&A_{p2}&\cdots&A_{pq} \end{pmatrix}$ と書く. これを行列$A$の 区分け と呼ぶ

このとき, 各$A_{ij}$を$A$の ブロック (block)という.

$A=(a_{ij}):m\times n$行列

$A$の 転置行列 (transposed matrix) とは, $(i,j)$成分が$a_{ji}$となっている$n\times m$行列のことである.

この行列を ${}^{t}A$ と表記する.

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ~, \quad {}^{t}A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}.$

$A=(a_{ij}):m\times n$行列

$A$の 複素共役行列 (complex conjugate matrix) とは, $(i,j)$成分が$\overline{a_{ij}}$($a_{ij}$の複素共役)となっている$m\times n$行列のことである.

この行列を$\overline{A}$と表記する.

$\overline{A}=$ $\begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \overline{a_{12}} & \cdots & \overline{a_{1n}}\\ \overline{a_{21}} & \overline{a_{22}} & \cdots & \overline{a_{2n}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \overline{a_{m1}} & \overline{a_{m2}} & \cdots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix}$

$A:$行列

$A$が (n次)正方行列 (square matrix) であるとは, $A$が$n \times n$行列であることをいう.

$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

• $n\times n$行列 $A=(a_{ij})$ に対して, $a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}$ を 対角成分 (diagonal elements) という.

• 対角成分が全て1で, それ以外の成分が0である(n次)正方行列を (n次)単位行列 (identity matrix) といい, $E_n$ と表記する.

$E_n= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}$

• 対角成分以外が0であるような正方行列を 対角行列 (diagonal matrix) という.

$\begin{pmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}$

$A:n$次正方行列

Aが 正則行列 (regular matrix) であるとは, $AB=BA=E_n$ を満たす$n$次正方行列$B$が存在することをいう.

このとき, $B$を$A$の 逆行列 (inverse matrix) といい, $A^{-1}$ と表記する.