東大数理院試過去問解答例(2017A04)

$f=x^2+y^2$とすると、微分方程式
$$\frac{df}{dt}=2f(1-f)$$
が得られる。これを解くと
$$f(t)=\frac{1}{1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t}}$$
が得られる。ここで$g=x+iy$とおくと
$$dg=g(1+i)(1-f)$$
$$dh=h(1-i)(1-f)$$
である。これを解くことで
$$\begin{array}{rl}g& =A{e}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}})\log (1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t})}\\ & =\frac{\frac{x_0+i{y}_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}{\sqrt{1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t}}}(\cos \log \sqrt{x_0^2+y_0^2}-i\sin \log \sqrt{x_0^2+y_0^2})(\cos \log \sqrt{1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t}}-i\sin \log \sqrt{1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t}})\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}h& =A{e}^{-\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}})\log (1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t})}\\ & =\frac{\frac{x_0-i{y}_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}{\sqrt{1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t}}}(\cos \log \sqrt{x_0^2+y_0^2}+i\sin \log \sqrt{x_0^2+y_0^2})(\cos \log \sqrt{1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t}}+i\sin \log \sqrt{1+\frac{1-x_0^2-y_0^2}{x_0^2+y_0^2}{e}^{-2t}})\end{array}$$
が得られ、これらの極限はそれぞれ
$$\frac{x_0+i{y}_0}{\sqrt{e^{-2t}+(x_0^2+y_0^2)(1-e^{-2t})}}(\cos \log \sqrt{x_0^2+y_0^2}-i\sin \log \sqrt{x_0^2+y_0^2})$$
$$\frac{x_0-i{y}_0}{\sqrt{e^{-2t}+(x_0^2+y_0^2)(1-e^{-2t})}}(\cos \log \sqrt{x_0^2+y_0^2}+i\sin \log \sqrt{x_0^2+y_0^2})$$
であり、これらを足して$2$で割ることで
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}x(t)=\frac{1}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}(x_0\cos \log \sqrt{x_0^2+y_0^2}+y_0\sin \log \sqrt{x_0^2+y_0^2})$$
が得られる。