・今まで私が出会った代数的な話題から、宝探し的な問題を集めてみました。
・一部は計算にコンピュータを使うことを想定していますが、全探索ではない方法を想定しています。
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日曜数学アドベントカレンダー2023
の参加として答えと背景を書きました。2023/12/17
問題
[1]
の整数解を見つけてください。
[2]
に対して、 となる整数の組を見つけてください。
[3]
可換環 において5乗して1になる元のうち、 () 以外のものがありますので、見つけてください。
[4]
可換環 で は既約元ではありませんので、分解を見つけてください。
[5]
2つの非可換環 と は同型ですので、同型写像を見つけてください。
[6]
以下の性質を満たす整数を見つけてください。(性質を満たすことを証明してください。)
「任意の自然数に対して、が十分大きければ を既約分数で表したときの分子が で割り切れる」
答え
とおく。問題の法はになっている。
そこで、もしによって と分解できれば、, すなわち となるがあって、
ガウスの補題により、なので、
を代入して が言える。
についても同様なので、が解となる。
円分拡大のガロア群はと同一視できる。
(をに写す写像と、が対応する。)
これは18次の巡回群であり、従ってその中間体な3次拡大は1つに定まり、
具体的には部分群で固定される中間体である。
がその中間体の生成元としてとれて、その共役は以下のようになっている。
そこで例えば適当なによって
とおけると見込むと の2次の係数から が に一致するので
一番あり得そうなを試すと他の係数も一致するというようにして
が最初の仮定を満たすことを得れば、
を得る。
とおくと、4つの体準同型 がある:
をに送る
をに送る
をに送る
をに送る
これらにより線形写像を で定める。
とおくと、 が要求される。
ここで、はすべてに関するノルムが1となっている。
すなわち
すなわち
についても同様であるから、はの3次元部分空間 に含まれている。
従って、線形従属関係は存在する。
数値計算すると
で線形従属なので例えばとおいて上3行を解くとを得るので、答えとなる整数の組を得る。
*対数をとるのに計算機がほぼ必須なのでこの次数なら総当たりのほうが早いかもしれないが、より高次の場合には総当たりのほうが大変になるだろう
可換環 において5乗して1になる元のうち、 () 以外のものがありますので、見つけてください。
環におけるイデアルは7つの素イデアルに分解され、対応して環は7個の体の直積に分解される。
(剰余をとっている素イデアルを出現順にとおく)
5乗して1になる元は、
第1成分が, 第2成分が, 第k成分(k=3から7)が で表され、従って個ある。
そのうち、 の形で表されるのは25個しかないので他にもある。
そこで例えば第3成分のみ で、他の成分が となるような元を考えてみる。
のときとなる多項式
を考えてのときにとなるようなを定めれば良い。
であることから(補足参照)
とすれば良い
ちなみにコンピュータで次数を下げると と書ける。
*補足 は方程式に対してとして得るのモニック方程式の定数項として計算できる。)
*補足:5乗して1になる個の元全体はたぶんで生成されると思う。
可換環 で は既約元ではありませんので、分解を見つけてください。
とおく。
環 において、イデアルとしてと分解されると想定する。もし がそれぞれ によって生成される単項イデアルであれば、環Aの単数によって、と分解される。環のイデアルに持ち上げると、次のイデアルの関係がある。
環の素イデアルは、平面の既約な代数的集合と1対1に対応する。(の零点集合がで、で消える多項式の集合がという対応)
の零点集合はの2点であるから、
の零点集合がの1点
の零点集合がの1点
となるようなを探すことを考える。
ベズーの定理により射影曲線では次曲線と次曲線は点で交わることを背景に、略式に、と、指定された点および無限遠点の2点で交わる直線を採用すれば良い。すなわち、指定された点を通り、傾きがの直線を採用すれば良い。(どちらを採用するかは単数倍の影響;補足参照)
そこで
とおくと、 が成り立ち
と分解される
*補足
傾きの選択の変更はどちらの直線の方程式も同じ単項イデアルの生成元だから単数倍の変化しか与えない。実際に確認すると
が成り立つので
が上の点なら であり
なので、は環の単数である。
2つの非可換環 と は同型ですので、同型写像を見つけてください。
問題文から変数名を変更し、四元数環っぽい変数で言い換えて、
とおいて、これらの同型を求める。まず、となるを探す。
展開は なので、として良くて、
適当に小さい範囲で探索すると、 が見つかる。
そこで、とおいてみる。(同じ仕組みでとして良い)
を展開して、
例えばzを消去して、xを係数に含むyの2次方程式として解くと、根号の中身にが現れる。
これもまた適当に小さい範囲で探索すると、のときに平方数となり、そのときと解決した。すなわち、
が求める同型を与える。ちなみに逆変換を求めておくと(連立一次方程式)
以下の性質を満たす整数を見つけてください。(性質を満たすことを証明してください。)
「任意の自然数に対して、が十分大きければ を既約分数で表したときの分子が で割り切れる」
これは形式的には「」を、で展開したもので、以下のように正当化される。
に対して が成り立つ。
(左辺)-(右辺)のでのテイラー展開を考えると、
ここで、以上は次以上の項しか与えないので、
までの部分和をとったとき、次以下の係数がすべて0になる。
すなわちまでの部分和は、の整数係数多項式によって以下のようにおける
を代入すると(部分和への代入なので、元の無限級数の収束範囲は気にしなくて良い)
左辺は、で、右辺の分子はで回以上、分母はで回割り切れる。
任意のに対してを十分大きくすれば、を以上にできるので、が適する。
背景
問題1
多項式に整数を代入して得る結果の素因数はで割った余りがに限られ、また逆に、任意の型の素数pに対してがで割り切れる整数xが存在する。このような規則は、私が10年以上前に環とかイデアルとかすらよく知らなかった頃に見つけた規則で、その頃は大発見だと思ったりもしたのだが、それは類体論のほんの入り口に過ぎなかった。
https://searial.web.fc2.com/aerile_re/takou1.html
問題2
これは、ディリクレの単数定理の証明に出てくる考え方で、このように単数をR^nに埋め込むと
像は次元の格子を成すというのがディリクレの単数定理の主張である。この格子の単位体積が単数基準(regulator)と呼ばれ、類数公式に登場する。(詳しくないので踏み込まない。)
また、複2次体の単数群について、、2次体の単数群の関係パターンをまとめた文献を読んで少し紹介したことがあった。
https://searial.web.fc2.com/aerile_re/sqrt2.html
問題3
この話題は、エタール層とについて考えていたときに扱ったことがあった。
https://searial.web.fc2.com/aerile_re/etale.html
(今回の問題ではではなくとしたので、構造がちょっと増えている。)
実は今年はそんなに数学に触れていなかったのだが、この話題に関係するポストがあって、今年このあたりを振り返りたくなるきっかけとなった。
https://twitter.com/icqk3/status/1712443938169385250
問題4
これは5年前にどこかで は一意分解整域と知った際に が一見反例に見えて、考えてみたらさらに分解できることに気づいた話題の符号を変えたものである。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12189714997
環の代数的な問題に、幾何的な視点がどう役に立つのかを実感するのに良い話題だと思う。
問題5
これは一般四元数環、すなわち-加群 に、の積構造を入れた環の話題である。
とが同型かどうかは、が進数に解を持たないの集合をとしたときにかどうかで判定できる。これはブラウアー群を通して類体論と関係する深い事実で、以前勉強メモを書いた。
https://searial.web.fc2.com/aerile_re/brauer.html
今回の設定ではでとはどちらもである。(上記のページの途中に具体的な整数の組a,bに対してこの集合を求めるスクリプトを書いた。)
ただし、この問題のように具体的な同型を求めるのに、このあたりの事実を利用する方法があるのかどうかは分からない。
問題6
のとき、進数の極大イデアルの加法群と主単数の乗法群の間に同型があって、具体的に, で与えられる。通常のexpやlogと類似の性質が成り立ち、それを整数の言葉で言い換えたのが今回の問題だった。
応用例として、 を に帰着することができる。例えば、となるを以下のように求めることができる(記号を濫用している):, なので、に帰着して、