順極限と前層の茎

$\mathcal{U}_x$が有向集合であるから$U \supseteq W$ かつ $U' \supseteq W$なる$W\in \mathcal{U}_x$が存在する。$s, t$の$W$への制限$s|_W$, $t|_W$はともに$\mathcal{F}(W)$の元であるからそれらの差を考えることができる。そこで$\Delta = s|_W - t|_W$とおく。$\Delta$を$x$における茎へ移行する、すなわち $\rho^{\mathcal{F}}_{x,W}$を施すと、
\begin{align} \rho^{\mathcal{F}}_{x,W}(\Delta) &= \rho^{\mathcal{F}}_{x, W}(s|_W) - \rho^{\mathcal{F}}_{x,W}(t|_W) \\ &= (\rho^{\mathcal{F}}_{x, W}\circ\rho^{\mathcal{F}}_{W,U})(s) - (\rho^{\mathcal{F}}_{x,W}\circ\rho^{\mathcal{F}}_{W,U'})(t) \\ &= \rho^{\mathcal{F}}_{x, U}(s) - \rho^{\mathcal{F}}_{x,U'}(t) \\ &= s_x - t_x \\ &= 0 \ \ (\text{仮定より}). \end{align}
すると例4の後半より、ある$V \subseteq W$なる$V \in \mathcal{U}_x$が存在して、$\Delta |_V = 0$となる。すなわち、
\begin{align} 0 &= \Delta |_V \\ &= (s|_W - t|_W)|_V \\ &= \rho^{\mathcal{F}}_{V,W}\left(\rho^{\mathcal{F}}_{W,U}(s) - \rho^{\mathcal{F}}_{W,U'}(t)\right) \\ &= (\rho^{\mathcal{F}}_{V,W}\circ\rho^{\mathcal{F}}_{W,U})(s) - (\rho^{\mathcal{F}}_{V,W}\circ\rho^{\mathcal{F}}_{W,U'})(t) \\ &= \rho^{\mathcal{F}}_{V,U}(s) - \rho^{\mathcal{F}}_{V, U'}(t) \\ &= s|_V - t|_V. \end{align}
$\therefore \ s|_V = t|_V$.

hom-at-a-stalkにより$\theta_U: \mathcal{G}(U) \rightarrow {}^a\mathcal{G}(U)$ が茎に誘導する加群の準同型写像$\theta_x: \mathcal{G}_x \rightarrow {}^a\mathcal{G}_x$が同型であることを示す。

まずhom-at-a-stalkによると、$\theta_x$は次のように定まるのだった: $\mathcal{G}_x$の各元は$x$のある開近傍$V$とその上の切断$t \in \mathcal{G}(V)$を用いて $t_x := \rho^\mathcal{G}_{x, V}(t)$と表される。（これはex15の前半から言える。）この$t$を用いて$\theta_x(t_x) := \rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}\circ\theta_V(t)$と定めるのであった。これが代表元$t \in \mathcal{G}(V)$の取り方に依らないこともそこで述べた。$\theta_V(t) = \{t_y\}_{y \in V}$という形をしていて、これを茎に移行した$\rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}(\{t_y\}_{y \in V})$というものが少し分かりにくい点に難しさがある。直感的には$\rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}(\{t_y\}_{y \in V}) = t_x$としたいところであるが、本当は波括弧$\{\}$で束ねられたものを茎へ移行せねばならず、あくまでも定義どおりにやるならばこれは$t_x$そのものではない。

さてともかく同型を示すために、逆方向の写像を構成してみよう。${}^a\mathcal{G}(U)$の元$s_U$はもとの前層の芽$s(x) \in \mathcal{G}_x$を$x \in U$に渡って束ねた形をしている: $s_U = \{s(x)\} \in \prod_{x \in U} \mathcal{G}_x$.したがって、射影$\pi_U: {}^a\mathcal{G}(U) \rightarrow \mathcal{G}_x;\ s_U \mapsto s(x)$を考えることができる。(これは波括弧$\{\}$で束ねた芽$s(y), y\in U$たちから点$x$における芽だけを引き抜いてくる写像である。)これは明らかに加群の準同型写像である。

(TODO: アティマク演習問題16相当の例を書く。)

$\pi_U$を${}^a\mathcal{G}$の茎に移行すれば、所望の写像$\pi_x: {}^a\mathcal{G}_x \rightarrow \mathcal{G}_x$が得られる。[アティマク演習問題16相当]によるとこの$\pi_x$は$s \in {}^a\mathcal{G}_x$を代表する$V$と$s_V = \{s(y)\}_{y\in V}\in{}^a\mathcal{G}(V)$ s.t. $s = \rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}(s_V)$を見つけてきて、$\pi_x(s) := \pi_V(s_V) = s(x)$とする写像である。

次に、この$\pi_x$が$\theta_x$の左側逆写像であること、すなわち、
$$ \pi_x \circ \theta_x = \text{id}_{\mathcal{G}_x} $$
であることを示す。

$\mathcal{G}_x$の元がある$V \in \mathcal{U}_x$と$t \in \mathcal{G}(V)$によって$t_x := \rho^{\mathcal{G}}_{x, V}(t)$と表されているとしよう。上に述べたことにより、$\theta_x(t_x) = \rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}\circ\theta_V(t) = \rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}(\{t_y\}_{y\in V})$.これはさらに$\pi_x$について述べたことにより、$\theta_V(t) = \{t_y\}_{y\in V}$が$\theta_x(t_x) \in {}^a\mathcal{G}_x$を代表していることを意味する。したがって$\pi_x(\theta_x(t_x)) = \pi_V(\theta_V(t)) = \pi_V(\{t_y\}_{y \in V}) = t_x$.これで$\pi_x \circ \theta_x = \text{id}_{\mathcal{G}_x}$が示された。

さらに、$\theta_x$が全射であることを示す。
$s \in {}^a\mathcal{G}_x$とする。ある$V \in \mathcal{U}_x$と$s_V = \{s(y)\}_{y\in V}$により$s = \rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}(s_V)$と表される。層化の切断の空間の条件\eqref{sheafification-condition}より、必要なら$V$をさらに小さな$x$の開近傍に取り直せば、ある$t\in\mathcal{G}(V)$によって$s(y) = t_y, \ y\in V$が成り立つようにできる: $s_V = \{t_y\}_{y \in V}$. これは$V$上で$s_V = \theta_V(t)$であることを意味する。したがって$s = \rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}(s_V) = \rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}(\theta_V(t)) = \rho^{{}^a\mathcal{G}}_{x, V}\circ\theta_V(t) = \theta_x(t_x)$. 以上より$\theta_x$は全射とわかった。

最後に$\theta_x$の単射性はすぐに分かる。$t_x, t'_x \in \mathcal{G}_x$に対して$\theta_x(t_x) = \theta_x(t'_x)$であるとすると、左から$\pi_x$を作用させれば$t_x = t'x$. よって単射である。

$\theta_x: \mathcal{G}_x \longrightarrow {}^a\mathcal{G}_x$ は全単射準同型であり、さらに準同型な左側逆写像$\pi_x: {}^a\mathcal{G}_x \longrightarrow \mathcal{G}_x$が存在することが言えたので同型写像であることが言えた。$\therefore \mathcal{G}_x \simeq {}^a\mathcal{G}_x$.