Andrewsによる三次の和公式

Andrewsによる Bailey対の反転公式
\begin{align} \alpha_n&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_{n+k}(-1)^{n-k}q^{\binom{n-k}2}}{(q;q)_{n-k}}\sum_{j=0}^k\frac{\alpha_j}{(q;q)_{k-j}(aq;q)_{k+j}}\\ &=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(-1)^n(a;q)_n}{(q;q)_n}q^\binom n2\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q,aq;q)_k}q^k\sum_{j=0}^k\frac{(q^{-k};q)_j}{(aq^{k+1};q)_j}(-1)^jq^{jk-\binom j2}\alpha_j \end{align}
において$\alpha_n$を$\displaystyle\frac{1-aq^{2n}}{1-a}(-1)^nq^{\binom n2}\alpha_n$に置き換えると,
\begin{align} \alpha_n&=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q,aq;q)_k}q^k\sum_{j=0}^k\frac{(1-aq^{2j})(q^{-k};q)_j}{(1-a)(aq^{k+1};q)_j}q^{jk}\alpha_j \end{align}
となる.　ここで,
\begin{align} \alpha_n&=\begin{cases} 0\qquad n\not\equiv 0\pmod 3\\ \displaystyle\frac{(a;q^3)_{n/3}}{(q^3;q^3)_{n/3}}a^{\frac n3}\qquad n\equiv 0\pmod 3 \end{cases} \end{align}
とすると, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より,
\begin{align} \alpha_n&=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q,aq;q)_k}q^k\sum_{0\leq j}\frac{(1-aq^{6j})(q^{-k};q)_{3j}}{(1-a)(aq^{k+1};q)_{3j}}q^{3jk}\frac{(a;q^3)_j}{(q^3;q^3)_j}a^j\\ &=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q,aq;q)_k}q^k\Q65{a,\sqrt a q^3,-\sqrt aq^3,q^{-k},q^{1-k},q^{2-k}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq^{k+3},aq^{k+2},aq^{k+1}}{q^3;aq^{3k}}\\ &=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q,aq;q)_k}q^k\frac{(aq^3,aq^{2k+2},aq^{2k+1},aq^{2k};q^3)_{\infty}}{(aq^{k+1},aq^{k+2},aq^{k+3},aq^{3k};q^3)_{\infty}}\\ &=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k(a;q^3)_k}{(q;q)_k(a;q)_{2k}} \end{align}
となって示すべき等式が得られる.

定理1の証明で用いた式
\begin{align} \alpha_n&=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},aq^n;q)_k}{(q,aq;q)_k}q^k\sum_{j=0}^k\frac{(1-aq^{2j})(q^{-k};q)_j}{(1-a)(aq^{k+1};q)_j}q^{jk}\alpha_j \end{align}
において, $q\mapsto q^3, a\mapsto a^3$として,
\begin{align} \alpha_n&=\frac{(a^3;q^3)_n}{(q^3;q^3)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-3n},a^3q^{3n};q)_k}{(q^3,a^3q^3;q)_k}q^{3k}\sum_{j=0}^k\frac{(1-a^3q^{6j})(q^{-3k};q^3)_j}{(1-a^3)(a^3q^{3k+3};q^3)_j}q^{3jk}\alpha_j \end{align}
において,
\begin{align} \alpha_n&=\frac{(1-a^3)(1-aq^{2n})(a;q)_{n}}{(1-a)(1-a^3q^{6n})(q;q)_n}(aq)^n \end{align}
を代入すると, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より,
\begin{align} \alpha_n&=\frac{(a^3;q^3)_n}{(q^3;q^3)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-3n},a^3q^{3n};q)_k}{(q^3,a^3q^3;q)_k}q^{3k}\sum_{j=0}^k\frac{(1-aq^{2j})(a;q)_j(q^{-3k};q^3)_j}{(1-a)(q;q)_j(a^3q^{3k+3};q^3)_j}(aq^{3k+1})^j\\ &=\frac{(a^3;q^3)_n}{(q^3;q^3)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-3n},a^3q^{3n};q)_k}{(q^3,a^3q^3;q)_k}q^{3k}\Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,q^{-k},\omega q^{-k},\omega^2 q^{-k}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq^{k+1},a\omega q^{k+1},a\omega q^{3k+1}}{aq^{k+1}}\\ &=\frac{(a^3;q^3)_n}{(q^3;q^3)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-3n},a^3q^{3n};q)_k}{(q^3,a^3q^3;q)_k}q^{3k}\frac{(aq,aq^{2k+1};q)_k}{(a\omega q^{k+1},a\omega^2 q^{k+1};q)_k}\\ &=\frac{(a^3;q^3)_n}{(q^3;q^3)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-3n},a^3q^{3n};q)_k(aq;q)_k}{(q^3;q)_k(a^3q^3;q^3)_{2k}}q^{3k} \end{align}
となって示すべき等式が得られる.