Ramanujanによるp(5n+4)の母関数, 関連する等式

まず, 2つ目の等式を示す.
$$\begin{array}{rl}& \sum _{0\le n}(\frac{q^{5n+1}}{(1-q^{5n+1}{)}^2}-\frac{q^{5n+2}}{(1-q^{5n+2}{)}^2}-\frac{q^{5n+3}}{(1-q^{5n+3}{)}^2}+\frac{q^{5n+4}}{(1-q^{5n+4}{)}^2})\\ & =\sum _{n\in \mathbb{Z}}(\frac{q^{5n+1}}{(1-q^{5n+1}{)}^2}-\frac{q^{5n+3}}{(1-q^{5n+3}{)}^2})\\ & =(1-q^2)\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{q^{5n+1}(1-q^{10n+4})}{(1-q^{5n+1}{)}^2(1-q^{5n+3}{)}^2}\\ & =\frac{q(1-q^2)(1-q^4)}{(1-q{)}^2(1-q^3{)}^2}{}_6{\psi }_6[\begin{array}{c}{q}^7,-q^7,q,q,q^3,q^3\\ q^2,-q^2,q^8,q^8,q^6,q^6\end{array};q^5;q^5]\end{array}$$
ここで, Baileyの${}_6{\psi }_6$和公式 より,
$$\begin{array}{rl}& {}_6{\psi }_6[\begin{array}{c}{q}^7,-q^7,q,q,q^3,q^3\\ q^2,-q^2,q^8,q^8,q^6,q^6\end{array};q^5;q^5]\\ & =\frac{(q^7,q^9,q^2,q;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^4}{(q^4,q^2,q^8,q^6;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^2}\end{array}$$
であるから, これを代入して,
$$\begin{array}{rl}q\frac{(q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^5}{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}& =\sum _{0\le n}(\frac{q^{5n+1}}{(1-q^{5n+1}{)}^2}-\frac{q^{5n+2}}{(1-q^{5n+2}{)}^2}-\frac{q^{5n+3}}{(1-q^{5n+3}{)}^2}+\frac{q^{5n+4}}{(1-q^{5n+4}{)}^2})\end{array}$$
を得る. 1つ目の式を示す. 2つ目の式から,
$$\begin{array}{rl}(q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^5\sum _{0\le n}p(n)q^{n+1}& =\sum _{0\le n}(\frac{q^{5n+1}}{(1-q^{5n+1}{)}^2}-\frac{q^{5n+2}}{(1-q^{5n+2}{)}^2}-\frac{q^{5n+3}}{(1-q^{5n+3}{)}^2}+\frac{q^{5n+4}}{(1-q^{5n+4}{)}^2})\end{array}$$
であるから, 両辺の$q^{5n},n\ge 0$の係数だけを集めることによって,
$$\begin{array}{rl}& (q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^5\sum _{0\le n}p(5n+4)q^{5n+5}\\ & =5\sum _{0\le n}(\frac{(q^5{)}^{5n+1}}{(1-(q^5{)}^{5n+1}{)}^2}-\frac{(q^5{)}^{5n+2}}{(1-(q^5{)}^{5n+2}{)}^2}-\frac{(q^5{)}^{5n+3}}{(1-(q^5{)}^{5n+3}{)}^2}+\frac{(q^5{)}^{5n+4}}{(1-(q^5{)}^{5n+4}{)}^2})\end{array}$$
$q^5\mapsto q$とすると,
$$\begin{array}{rl}(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}^5\sum _{0\le n}p(5n+4)q^{n+1}& =5\sum _{0\le n}(\frac{q^{5n+1}}{(1-q^{5n+1}{)}^2}-\frac{q^{5n+2}}{(1-q^{5n+2}{)}^2}-\frac{q^{5n+3}}{(1-q^{5n+3}{)}^2}+\frac{q^{5n+4}}{(1-q^{5n+4}{)}^2})\\ & =5q\frac{(q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^5}{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}}\end{array}$$
よって,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}p(5n+4)q^n& =5\frac{(q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^5}{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}^6}\end{array}$$
を得る.

$\omega :=e^{\frac{2\pi i}{5}}$とする. Baileyの${}_6{\psi }_6$和公式 より,
$$\begin{array}{rl}& \frac{(q,aq,q/a,\sqrt{a}q,q/\sqrt{a};q{)}_{\mathrm{\infty }}(q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}{(a^{\frac{5}{2}}{q}^5,q^5/a^{\frac{5}{2}};q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}\\ & ={}_6{\psi }_6[\begin{array}{c}\sqrt{a}q,-\sqrt{a}q,\sqrt{a}\omega ,\sqrt{a}{\omega }^2,\sqrt{a}{\omega }^3,\sqrt{a}{\omega }^4\\ \sqrt{a},-\sqrt{a},{\omega }^4\sqrt{a}q,{\omega }^3\sqrt{a}q,{\omega }^2\sqrt{a}q,\omega \sqrt{a}q\end{array};q]\\ & =\frac{1-a^{\frac{5}{2}}}{(1-a)(1-\sqrt{a})}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{(1-a{q}^{2n})(1-\sqrt{a}q)q^n}{1-a^{\frac{5}{2}}{q}^{5n}}\\ & =1+\frac{1-a^{\frac{5}{2}}}{(1-a)(1-\sqrt{a})}\sum _{0<n}(\frac{(1-a{q}^{2n})(1-\sqrt{a}{q}^n)q^n}{1-a^{\frac{5}{2}}{q}^{5n}}-\frac{(q^{2n}-a)(q^n-\sqrt{a})q^n}{a^{\frac{5}{2}}-q^{5n}})\\ & =1+\frac{1-a^{\frac{5}{2}}}{(1-a)(1-\sqrt{a})}\sum _{0<n}\frac{(1-a{q}^{2n})(1-\sqrt{a}{q}^n)(a^{\frac{5}{2}}-q^{5n})q^n-(q^{2n}-a)(q^n-\sqrt{a})q^n(1-a^{\frac{5}{2}}{q}^{5n})}{(1-a^{\frac{5}{2}}{q}^{5n})(a^{\frac{5}{2}}-q^{5n})}\end{array}$$
である. $a\to 1$とすると,
$$\begin{array}{rl}\frac{(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}^5}{(q^5;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}& =1-5\sum _{0<n}\frac{q^n-2q^{2n}-3q^{3n}+4q^{4n}+4q^{6n}-3q^{7n}-2q^{8n}+q^{9n}}{(1-q^{5n}{)}^2}\end{array}$$
となるから,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0<n}\frac{q^{an}}{(1-q^{5n}{)}^2}& =\sum _{0<n,0\le m}(m+1)q^{(5m+a)n}\\ & =\sum _{0\le m}\frac{(m+1)q^{5m+a}}{1-q^{5m+a}}\end{array}$$
を用いると,
$$\begin{array}{rl}& \sum _{0<n}\frac{q^n-2q^{2n}-3q^{3n}+4q^{4n}+4q^{6n}-3q^{7n}-2q^{8n}+q^{9n}}{(1-q^{5n}{)}^2}\\ & =\sum _{0\le m}(m+1)(\frac{q^{5m+1}}{1-q^{5m+1}}-\frac{2q^{5m+2}}{1-q^{5m+2}}-\frac{3q^{5m+3}}{1-q^{5m+3}}+\frac{4q^{5m+4}}{1-q^{5m+4}})\\ & +\sum _{0\le m}m(\frac{4q^{5m+1}}{1-q^{5m+1}}-\frac{3q^{5m+2}}{1-q^{5m+2}}-\frac{2q^{5m+3}}{1-q^{5m+3}}+\frac{q^{5m+4}}{1-q^{5m+4}})\\ & =\sum _{0\le m}(\frac{(5m+1)q^{5m+1}}{1-q^{5m+1}}-\frac{(5m+2)q^{5m+2}}{1-q^{5m+2}}-\frac{(5m+3)q^{5m+3}}{1-q^{5m+3}}+\frac{(5m+4)q^{5m+4}}{1-q^{5m+4}})\end{array}$$
となって示される.