2変数のベズーの定理

代数学,代数幾何,べズーの定理

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重複度と無限遠での交点を含んだ,2変数の場合のべズーの定理を証明します.

まず,定理の主張を述べるために必要な用語を定義します.

2$a$.$b$はアティマク第$a$章定理(命題,補題,本文の演習問題)$b$
2$a$-$b$はアティマク第$a$章演習問題$b$番を指します.

射影代数曲線

$\mathbb{F}$:体
$F\in\mathbb{F}[X,Y,Z]$:斉次多項式に対して,
$V(F)\coloneqq \{[a:b:c]\in \mathbb{FP}^2|F(a,b,c)=0\}$
を$F$で定義される射影代数曲線と定義する.

射影代数曲線の交点

$\mathbb{F}$:体
$F,G\in\mathbb{F}[X,Y,Z]$:斉次多項式に対して,
$V(F)\cap V(G)=V((F,G))$の元を射影代数曲線$V(F)$と$V(G)$の交点と定義する.

局所交点数(重複度)

$\mathbb{F}$:体
$F,G\in\mathbb{F}[X,Y,Z]$:斉次多項式に対して,
$[a,b,c]$を射影代数曲線$V(F)$と$V(G)$の交点とする.
$n\coloneqq degF,m\coloneqq degG$とおく.
$c\ne 0$のとき,$f(x,y)\coloneqq F(xZ,yZ,Z)/Z^n,g(x,y)\coloneqq G(xZ,yZ,Z)/Z^m$とおく.
$dim_{\mathbb{F}}(\mathbb{F}[x,y]/(f,g))_{(x-a/c,y-b/c)}$を$V(F)$と$V(G)$の$[a:b:c]$での局所交点数と定義する.
$a\ne 0,b\ne 0$のときも同様に定義する.この定義はwell-definedである.

以上の定義のもと,以下の定理が成り立つ.

2変数のべズーの定理

$\mathbb{F}$:代数閉体
$F,G\in \mathbb{F}[X,Y,Z]$:共通因子を持たない斉次多項式
局所交点数も含めた$V(F)$と$V(G)$の交点数は$(degF)(degG)$

この定理の証明には以下の二つの定理を使います.

$\mathbb{F}$:無限体
$\exists A=(a_{ij})_{ij}\in PSL(3,\mathbb{F})$
$s.t.\hspace{1em}\forall[a:b:c]\in V((F,G))\hspace{1em} aa_{31}+ba_{32}+ca_{33}\ne 0$

$\mathbb{F}$:代数閉体
$f,g\in \mathbb{F}[x,y]$:共通因子を持たない多項式
$n\coloneqq degf,m\coloneqq degg$
$I\coloneqq (f,g)$
$R\coloneqq \mathbb{F}[x,y]/I$
$f_n,g_m$をそれぞれ$f,g$の最高次斉次部分とする.
(1)$\sum_{\mathfrak{m}\in Z(f,g)}dim_{\mathbb{F}}R_{\mathfrak{m}}=dim_{\mathbb{F}}R$
(2)$Z(f_n,g_m)=\{(0,0)\}$ならば,$dim_{\mathbb{F}}R=n\cdot m$

定理2,3を用いて定理1を証明する.

まず,定理2により,
$\exists A=(a_{ij})_{ij}\in PSL(3,\mathbb{F})$
$s.t.\hspace{1em}\forall[a:b:c]\in V((F,G))\hspace{1em} aa_{31}+ba_{32}+ca_{33}\ne 0$
$B=(b_{ij})_{ij}\coloneqq A^{-1}$とおき,
$F_A\coloneqq F(b_{11}X+b_{12}Y+b_{13}Z,b_{21}X+b_{22}Y+b_{23}Z,b_{31}X+b_{32}Y+b_{33}Z)$と定義する.$G_A$も同様に定義する.
このとき,$[a:b:c]$での$V(F),V(G)$の局所交点数と,$A[a:b:c]$での$V(F_A),V(G_A)$の局所交点数は一致しているので,$F_A,G_A$をあらためて$F,G$とおきなおす.
$n\coloneqq degF,m\coloneqq degG$とおく.
このとき,$f(x,y)\coloneqq F(xZ,yZ,Z)/Z^n,g(x,y)\coloneqq G(xZ,yZ,Z)/Z^m$とすると,
$Z(f_n,g_m)=\{(0,0)\}$なので,$V(F,G)=Z(f,g)$であり,定理3が使えて,
$n\cdot m=dim_{\mathbb{F}}R=\sum_{\mathfrak{m}\in Z(f,g)}dim_{\mathbb{F}}R_{\mathfrak{m}}=\sum_{\mathfrak{m}\in V(F,G)}dim_{\mathbb{F}}R_{\mathfrak{m}}$

あとは上の二つの定理を証明します.

定理2の証明

$\forall \boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2,\cdots ,\boldsymbol{x}_k \in \mathbb{F}^3-\{(0,0,0)\}$ に対し,$\exists \boldsymbol{a}\in \mathbb{F}^3\hspace{1em} s.t.\hspace{1em} (\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}_i)\ne 0(\forall i)$ を示せば良い.
$k$に関する帰納法で示す.
$k=1$のとき
$\boldsymbol{x}_1\ne 0$より$\exists j\hspace{1em} s.t.\hspace{1em} (\boldsymbol{x}_1)_j\ne 0$なので,
$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_j$とすれば良い.
$k-1$で成立を仮定する.
つまり,$\exists \boldsymbol{a}\in \mathbb{F}^3\hspace{1em} s.t.\hspace{1em} (\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}_i)\ne 0(\forall i=1,\cdots k-1)$
このとき、$\boldsymbol{a}^{\prime}\coloneqq \boldsymbol{a}+t\boldsymbol{x}_k (t\in \mathbb{F})$とおく.
$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}_i)\ne 0$ならよいので,$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}_i)= 0$のときを考える.
各$i$に対して,$(\boldsymbol{a}^{\prime},\boldsymbol{x}_i)=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}_i)+t(\boldsymbol{x}_k,\boldsymbol{x}_i)=0$となる$t$は高々$1$つなので,
代数閉体が無限体であることから,条件を満たす$t\in \mathbb{F}$が取れる.

定理3(1)の証明に用いる補題を証明していきます.

$\mathbb{F}$:体,$P,Q\in \mathbb{F}[x,y]$,$I\coloneqq (P,Q),R\coloneqq \mathbb{F}[x,y]/I$
$R$がアルティン環$\Leftrightarrow$$P,Q$は共通因子を持たない.

特に,定理1の仮定の元で
$Z(P,Q)=SpecR=MaxR$
が成り立つ.

この命題を証明することで$dim_{\mathbb{F}} R$の有限性が言えます.(体$k$上有限生成なアルティン環は$k$上有限)

$\Rightarrow$について
$P,Q$が既約な共通因子$f$を持つと仮定すると,
$(P,Q)\subset (f)$:高さ$1$の素イデアル(クルルの単項イデアル定理).より矛盾.
$\Leftarrow$について
$(P,Q)\subset \exists\mathfrak{p}$:高さ$1$の素イデアルとする.
$\mathfrak{p}$はある単項イデアル$(R)$の極小素因子.
$R\in\mathfrak{p}$より,$\exists f$:既約$\hspace{1em}s.t.\hspace{1em} (R)\subset(f)\subset \mathfrak{p}$
$\mathbb{F}[x,y]$はUFDより,$(f)$は素イデアル.$\mathfrak{p}$の極小性から,$\mathfrak{p}=(f)$
このとき,$(P,Q)\subset\mathfrak{p}=(f)$から,$f$は$P$と$Q$の共通因子であるがこれは矛盾.

一般論

$A,A_1,A_2,\cdots ,A_n$を環とし,
$A=A_1\times A_2\times\cdots\times A_n$
が成り立っているとする.
(1)$A$の素イデアルはすべて,あるiがあって,$A_1\times \cdots\times A_{i-1}\times \mathfrak{p}_i\times A_{i+1}\times \cdots \times A_n $ $(\mathfrak{p}_i\in SpecA_i)$
と書ける.
この対応により,
$SpecA=\bigoplus_{i=1}^n SpecA_i$
(2)$SpecA\ni \mathfrak{p}$
$=A_1\times \cdots\times\mathfrak{p}_i\times \cdots \times A_n$
と書く時,
$A_{\mathfrak{p}}=(A_i)_{\mathfrak{p}_i}$

(1)21-22
(2)
$A_{\mathfrak{p}}=\{a/s|s\notin\mathfrak{p}\}$
$\hspace{1.5em}=\{(a_1,\cdots,a_i,\cdots ,a_n)/(s_1,\cdots,s_i,\cdots,s_n)|s_i\notin\mathfrak{p}_i\}$
$e_i\coloneqq (0,\cdots ,1,\cdots 0)\notin \mathfrak{p}$とおくと,
$\forall (a_1,\cdots,a_i,\cdots ,a_n)/(s_1,\cdots,s_i,\cdots,s_n)\in A_{\mathfrak{p}}$に対し,
$\{(a_1,\cdots,a_i,\cdots ,a_n)(0,\cdots,s_i,\cdots,0)-(0,\cdots,a_i,\cdots,0)(s_1,\cdots,s_i,\cdots,s_n)\}e_i=0$
なので,
$(a_1,\cdots,a_i,\cdots ,a_n)/(s_1,\cdots,s_i,\cdots,s_n)=(0,\cdots,a_i,\cdots ,0)/(0,\cdots,s_i,\cdots,0)$
これにより,$A_{\mathfrak{p}}=(A_i)_{\mathfrak{p}_i}$

定理3の(1)を証明します.

定理3(1)の証明

まず$\mathbb{F}[x,y]$がネーター環であることより$I$は準素分解可能です.
$I=q_1\cap q_2 \cdots \cap q_k, \mathfrak{m}_i\coloneqq \sqrt{q_i}$
補題2から$R$はアルティン環なので$Z(P,Q)=\{\mathfrak{m}_i|i=1,\cdots k\}$
さらに中国式剰余定理が使えて,
$R=R/q_1\times R/q_2 \times \cdots \times R/q_k$
ここで$R$を$\mathfrak{m}_i$で局所化してみると,補題3から,
$R_{\mathfrak{m}_i}=(R/q_1\times R/q_2 \times \cdots \times R/q_k)_{\mathfrak{m}_i}$
$=(R/q_i)_{\mathfrak{m}_i}$
$=R/q_i$
従って,
$dim_{\mathbb{F}}R=dim_{\mathbb{F}}R/q_1\times R/q_2 \times \cdots \times R/q_k$
$= \sum_{j=1}^{k}{dim_{\mathbb{F}}R/q_j}$
$=\sum_{\mathfrak{m}\in Z(P,Q)} dim_{\mathbb{F}}R_{\mathfrak{m}}$

次に(2)を証明するために用いる補題を証明します.

$\mathbb{F}$:体
$Poly_D(\mathbb{F}^2)\coloneqq\mathbb{F}[x,y]/{(x,y)}^{D+1}$
$I_D\coloneqq I\cap Poly_D(\mathbb{F}^2)$
$R_D\coloneqq Poly_D(\mathbb{F}^2)/I_D$

定理3(2)の仮定と$D\geq n+m$のとき
(1)$R_D=R$
(2)$I_D=(f)_D+(g)_D$

(1)
$D\geq n+m\Rightarrow (x,y)^{D+1}\subset (f_n,g_m)$(27.14の証明)
$\mathbb{F}-Vect$として、
$\mathbb{F}[x,y]=(x,y)^{D+1}+Poly_D(\mathbb{F}^2)$
$\hspace{3em}=(f_n,g_m)+Poly_D(\mathbb{F}^2)$
$\hspace{3em}=I+Poly_D(\mathbb{F}^2)$
($\because f_{n-1}\coloneqq f-f_n$とおくと,
$f_n=f-f_{n-1}\in I+Poly_D(\mathbb{F}^2)$)
従って,
$R=\mathbb{F}[x,y]/I$
$\hspace{1em}=I+Poly_D(\mathbb{F}^2)/I$
$\hspace{1em}=Poly_D(\mathbb{F}^2)/I_D$
$\hspace{1em}=R_D$
(2)
$I_D\supset(f)_D+(g)_D$は自明.
$I_D\subset(f)_D+(g)_D$について,
$fP+gQ\in I_D$とする.
$deg(fP)\ne deg(gQ)$のとき,
$min\{deg(fP,gQ)\}\leq def(fP+gQ) = max\{deg(fP),deg(gQ)\}\leq D$より
$fP\in (f)_D,gQ\in (g)_D$
$deg(fP)= deg(gQ)$のとき,
$deg(fP)= deg(gQ)\leq D$ならよいので,
$deg(fP)= deg(gQ) \gt D$のときを考える.
$P,Q$の最高次斉次部分を$\bar{P},\bar{Q}$とおくと,
$f_n\bar{P}+g_m\bar{Q}\ne0\Rightarrow deg(fP+gQ)\gt D$なので,
$f_n\bar{P}+g_m\bar{Q}=0$
仮定から,
$\exists h\in \mathbb{F}[x,y]$:斉次$s.t. \bar{P}=g_mh,\bar{Q}=-f_nh$
このとき,
$fP+gQ=f(\bar{P}+p)+g(\bar{Q}+q)\hspace{1em}(p\coloneqq P-\bar{P},q\coloneqq Q-\bar{Q})$
$\hspace{4.1em}=fg_mh-gf_nh+fp+gq$
$\hspace{4.1em}=\{f(g-g_{m-1})-g(f-f_{n-1})\}h+fp+gq$
$\hspace{4.1em}=\{-fg_{m-1}+f_{n-1}g\}h+fp+gq$
$\hspace{4.1em}=f(-g_{m-1}h+p)+g(f_{n-1}h+q)$
$deg(-g_{m-1}h+p)\lt deg(P),deg(f_{n-1}h+q)\lt deg(Q)$より,
$deg(fP)= deg(gQ)\leq D$まで次数を落とせる.

$\mathbb{F}$:体
$dim_{\mathbb{F}}Poly_D(\mathbb{F}^2)={D+2\choose 2}$

$Poly_D(\mathbb{F}^2)$の$\mathbb{F}$上の基底は$x^ky^l(k+l\leq D)$なので,組み合わせを考えると分かる.

定理3(2)の証明

補題6(1),(2)と$R$がUFDより,
$R=R_D$
$\hspace{1em}=Poly_D(\mathbb{F}^2)/I_D$
$\hspace{1em}=(Poly_D(\mathbb{F}^2)/(f)_D)/((f,g)_D/(f)_D)$
$\hspace{1em}=(Poly_D(\mathbb{F}^2)/(f)_D)/((f)_D+(g)_D/(f)_D)$
$\hspace{1em}=(Poly_D(\mathbb{F}^2)/(f)_D)/((g)_D/(fg)_D)$
なので,
補題7から,
$dim_{\mathbb{F}}R=dim_{\mathbb{F}}Poly_D(\mathbb{F}^2)-dim_{\mathbb{F}}((f)_D)-dim_{\mathbb{F}}((g)_D)+dim_{\mathbb{F}}((fg)_D)$
$\hspace{3.35em}=dim_{\mathbb{F}}Poly_D(\mathbb{F}^2)-dim_{\mathbb{F}}Poly_{D-n}(\mathbb{F}^2)-dim_{\mathbb{F}}Poly_{D-m}(\mathbb{F}^2)+dim_{\mathbb{F}}Poly_{D-n-m}(\mathbb{F}^2)$
$\hspace{3.35em}= { D+2 \choose 2 } -{D-n+2\choose 2}-{D-m+2\choose 2}+{D-n-m+2\choose 2}$
$\hspace{3.35em}=nm$