ここでは東大数理の修士課程の院試の2021B05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$3$次元球面$S^3$をとり、その向きを固定する。次に$2$次元多様体$\Sigma$及びその$2$次形式$\omega$をとる。ここで$C^\infty$写像$f:S^3\to \Sigma$があったとする。このとき$S^3$上の$1$次形式$\alpha$が存在し、$f^\ast\omega=d\alpha$を満たしている。このような$\alpha$に対して積分
$$
I(\alpha):=\int_{S^3}\alpha\wedge d\alpha
$$
を定める。
(1) $I(\alpha)$は$\alpha$の取り方に依らないことを示せ。
(2) $\Sigma=T^2$とする。このとき$T^2$上の$1$次形式$\eta_1,\eta_2,\eta_3$で
$$
\omega=\eta_1\wedge\eta_2+d\eta_3
$$
$$
d\eta_1=d\eta_2=0
$$
を満たすものが存在することを示せ。
(3) $\Sigma=T^2$のとき$I(\alpha)=0$であることを示せ。
問題を解くに当たって$S_3$及び$T^2$のdeRhamコホモロジーの性質を用いる場合、その性質を明記した上で用いること。例えば上記の$\alpha$の存在は$H_{dR}^2(S^3,\mathbb{R})=0$の帰結として得られる。