東大数理院試過去問解答例(2021B05)

$3$次元球面$S^3$をとり、その向きを固定する。次に$2$次元多様体$\mathrm{\Sigma }$及びその$2$次形式$\omega$をとる。ここで$C^{\mathrm{\infty }}$写像$f:S^3\to \mathrm{\Sigma }$があったとする。このとき$S^3$上の$1$次形式$\alpha$が存在し、$f^{\ast }\omega =d\alpha$を満たしている。このような$\alpha$に対して積分
$$I(\alpha ):={\int }_{S^3}\alpha \wedge d\alpha$$
を定める。
(1) $I(\alpha )$は$\alpha$の取り方に依らないことを示せ。
(2) $\mathrm{\Sigma }=T^2$とする。このとき$T^2$上の$1$次形式${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$で
$$\omega ={\eta }_1\wedge {\eta }_2+d{\eta }_3$$
$$d{\eta }_1=d{\eta }_2=0$$
を満たすものが存在することを示せ。
(3) $\mathrm{\Sigma }=T^2$のとき$I(\alpha )=0$であることを示せ。

問題を解くに当たって$S_3$及び$T^2$のdeRhamコホモロジーの性質を用いる場合、その性質を明記した上で用いること。例えば上記の$\alpha$の存在は$H_{dR}^2(S^3,\mathbb{R})=0$の帰結として得られる。