東大数理院試過去問解答例(2021B05)
ここでは東大数理の修士課程の院試の2021B05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$3$次元球面$S^3$をとり、その向きを固定する。次に$2$次元多様体$\Sigma$及びその$2$次形式$\omega$をとる。ここで$C^\infty$写像$f:S^3\to \Sigma$があったとする。このとき$S^3$上の$1$次形式$\alpha$が存在し、$f^\ast\omega=d\alpha$を満たしている。このような$\alpha$に対して積分
$$
I(\alpha):=\int_{S^3}\alpha\wedge d\alpha
$$
を定める。
(1) $I(\alpha)$は$\alpha$の取り方に依らないことを示せ。
(2) $\Sigma=T^2$とする。このとき$T^2$上の$1$次形式$\eta_1,\eta_2,\eta_3$で
$$
\omega=\eta_1\wedge\eta_2+d\eta_3
$$
$$
d\eta_1=d\eta_2=0
$$
を満たすものが存在することを示せ。
(3) $\Sigma=T^2$のとき$I(\alpha)=0$であることを示せ。
問題を解くに当たって$S_3$及び$T^2$のdeRhamコホモロジーの性質を用いる場合、その性質を明記した上で用いること。例えば上記の$\alpha$の存在は$H_{dR}^2(S^3,\mathbb{R})=0$の帰結として得られる。
- 条件を満たす$\alpha,\beta$を取ったとする。このとき$H^1_{dR}(S^3,\mathbb{R})=0$であるから、ある$C^\infty$関数$h$が存在して$dh=\alpha-\beta$を満たしている。このとき
$$ \begin{split} \int_{S^3}(\alpha-\beta)\wedge f^\ast\omega&=\int_{S^3}(dh)\wedge(d\alpha)\\ &=\int_{S^3}d(hd\alpha)\\ &=\int_{\partial S^3}hd\alpha\\ &=0 \end{split} $$
であるから、$I(\alpha)$は$\alpha$の取り方に依らない。 - 初めに$T^2$は$2$次元多様体であるから、任意の$2$次形式は閉形式である。$H^2_{dR}(T^2,\mathbb{R})=\mathbb{R}$であり、微分同相$\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\simeq T^2$の下、その生成元は$dx\wedge dy$で生成される。よってある$1$次形式$\eta_3$及び実数$r$が存在して
$$ \omega=rdx\wedge dy+d\eta_3 $$
が成り立っているから、結果が示せた。 - $T^2$上の微分形式$dx$及び$dy$について、$H^1_{dR}(S^3,\mathbb{R})=0$であるから$C^\infty$関数$s,t$で$ds=f^\ast dx$及び$dt=f^\ast dy$を満たすものが存在する。このとき$f^\ast(dx\wedge dy)=ds\wedge dt=d(sdt)$になっているから、$\omega=dx\wedge dy$のとき
$$ I(\alpha)=\int_{S^3}\alpha\wedge d\alpha=\int_{S^3}sdt\wedge d(sdt)=-\frac{1}{2}\int_{S^3}d(sdt\wedge sdt)=0 $$
がわかる。
一方$\omega=d\eta_3$の場合を考える。このとき$f^\ast d\eta_3=df^\ast\eta_3$であるから
$$ I(\alpha)=\int_{S^3}f^\ast\eta_3\wedge d(f^\ast\eta_3)=\int_{S^3}f^\ast(\eta_3\wedge d\eta_3)=-\frac{1}{2}\int_{S^3}f^\ast(d(\eta_3\wedge\eta_3))=0 $$
であるから$I(\alpha)=0$が従う。以上の議論と(2)から、$\Sigma=T^2$のときは$\omega$の取り方に関わらず$I(\alpha)=0$であることが従う。
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