位数15の群の分類

$H$以外に$H'$も$G$の部分群で位数5であったとすると、
$H\cap H'$は$H$(または$H'$)の部分群なので、$|H\cap H'|=1,5$であるが、$H\neq H'$なので、$|H\cap H'|=1$である。(特に$H\cap H'=\{1\}$ )
$HH'=\{hh'|h\in H,h'\in H\}$とおくと、$|HH'|=25\leqq|G|$
となるので、不合理。

位数5の元と位数3の元が少なくとも一つずつは存在するとき、$G$は巡回群であることを示そう。
位数5の部分群を$H$、位数3の部分群を$K$とする。
この時、$H\cap K$は$H$と$K$の部分群になるので、ラグランジュの定理より、$H\cap K=\{1\}$となる。
ここで、$HK=\{hk|h\in H,k\in K\}$という集合を考える。
$h_1k_1=h_2k_2$であるとすると、$h_1h_2^{-1}=k_2k_1^{-1}$
となるが、両辺は$H\cap K$の元なので、$h_1h_2^{-1}=k_2k_1^{-1}=1$
これは、$H\times K$から$HK$への写像$f:(h,k)\rightarrow hk$が単射であることを表している。(また、全射でもある)
よって、$|G|=|H\times K|=|HK|　$となる。
ここで、$H$と$K$の元が互いに可換であることを示そう。
$1\neq x\in H,g\in G$に対して、$(gxg^{-1})^n=gx^ng^{-1}$であることに着目すれば、$x$と$gxg^{-1}$の位数は一致するので、$gxg^{-1}$の位数は5である。シロー5部分群$H$は存在すれば一意なので、$H$の元以外で、位数5の元は存在しない。つまり、$gxg^{-1}\in H$である。よって、$H$は正規である。この時、$G/H$は位数3の巡回群で$\{H,aH,a^2H\}$($a\notin H$)とかける。$G$には位数15の元が存在しないという仮定をしていたので、$a^3\in H$より、$a$の位数は3となる。$axa^{-1}=x^m\in H$とおくと、
$x=a^3xa^{-3}=x^{m^3}$ ゆえに$m^3\equiv 1 \mod5$よって、$m=1$となり、可換であることが分かった。
$f:H\times K\rightarrow HK$について、準同型であることを証明しよう。$f((h_1,k_1)(h_2,k_2))=f(h_1h_2,k_1k_2)=h_1h_2k_1k_2$
一方で、$f(h_1,k_1)f(h_2,k_2)=h_1k_1h_2k_2$
$H$と$K$の元は可換なので、両者は等しいことがわかる。
つまり、$H\times K $と$HK=G$は同型で、$G=\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$となる。

$G$に位数5の元が存在しないと仮定すると、位数15の元も存在せず、ラグランジュの定理より、$G$には位数3の元と単位元しか存在しない。
各位数3の元によって生成されることなる部分群は複数あるが、それを$H_1,...,H_n$とおく。$i\neq j\Rightarrow H_i\neq H_j$であり、$H_i\cap H_j =\{1\}$ゆえにどの2つの$H_i,H_j$を選んでも、$2$つの要素はかぶらない。よって
$1+2n=15$($1$は単位元、$n$は$H_i$の個数)より、$n=7$
ここで、$\mathcal{S}=\{H_1,...,H_7\}$とおき、写像$\phi_g: \mathcal{S}\rightarrow \mathcal{S},H_i\rightarrow gH_ig^{-1}=\{ghg^{-1}|h\in H\}$を考える。($gHg^{-1}$は位数3の群なので、$\mathcal{S}の元である。$)
$H_i(1\leqq i \leqq7)$はそれぞれ、$\phi_g$によって$H_j(1\leqq j \leqq 7)$に移る。
例えば、$gH_1g^{-1}=H_2$のように移ることもあれば、$gH_3g^{-1}=H_3$のように、ある$g$によっては不変の$H_i$が存在する場合もある。
ここで、ある$H_i$を一つ固定して、その$H_i$を動かさない$G$の元全体を考える。今回は例えば$H_1$を選んで、
$N_1(H)=\{g| gH_1g^{-1}=H_1\}$としよう。この時$N_1(H)$は群になる。(単位元$1$は$H_1$を動かさない。また、$h_1\in H_1$に対して、$gh_1g^{-1}\in H_1$ならばその逆元も$H_1$に含まれるから、逆元の存在も保証されている。)
ここで、$H_1$の元同士の演算は再び$H_1$の元になるので$H_1\subset N_1(H)$であり、$H_1\leqq N_1(H)\leqq G$という関係の中で、ラグランジュの定理を用いれば、$|N_1(H)|=3,15$を得る。
ただし、$N_1(H)=G$であるなら、$H_1$が正規ということになり、仮定に反するので、$N_1(H)=H_1$となることがわかる。これは$\mathcal{S}$の任意の元に対し同じことが言える。
次に、写像$f:G\times \mathcal S\rightarrow \mathcal{S},(g,H_i)\rightarrow gH_ig^{-1}(=g*H_i)$とし、
$G_{H_i}=\{g|g*H_i=H_i\}\subset G$,$G*H_i=\{g*H_i|g\in G\}\subset \mathcal{S}$とおく。この時、$f$は$G$軌道であり、$N_1(H)=G_{H_i}$となることは直ちにわかる。軌道と固定部分群の関係から、$|N_1(H)||G*H_i|=|G|=15$
ゆえに$|G*H_i|=5$となる。
ここで、$H_i\in G*H_1$であるとき、$\exists g_0 \in G,g_0*H_1=H_i$なので、$G*H_i=\{g*H_i|g\in G\}=\{g'g_0^{-1}*H_i|g'\in G\}=G*H_1$
つまり、$i\neq j$について、$G*H_i=G*H_j$または、$G*H_i\cap G*H_j=\varnothing$が成立し、
$\displaystyle\mathcal{S}=\coprod_{i}G*H_i$
より、両辺の位数を比べて、$5|7$を得るので不合理。
以上より位数5の元が存在することが証明された。