院試を解く2 平面上の実数値連続関数

証明　(1)$f(x,y)=x^2+y^2$と置く.$B(x,y,R)$で中心$(x,y)$半径$R$の開円板を表すことにすると$|f(x,y)|\le R\iff (x,y)\in B(0,R)$であり有界なので(＊)を満たす.
(2)$f$が有界ならば上界,下界を$M$, $m$として$R=\text{max}\{|M|,|m|\}$と置けば$\{(x,y)||f(x,y)|\le R\}$は平面全体となり非有界なので(＊)を満たさない.
よって最大値と最小値を共に持たないとして矛盾を導けば十分.$f$は連続なので${\mathbb{R}}^2$の像は$\mathbb{R}$の連結部分集合,すなわち区間である.(＊)から上または下に非有界だから必要なら$-1$倍と平行移動をすることで$f({\mathbb{R}}^2)=(\alpha ,\mathrm{\infty })$,$\alpha =-2$または$-\mathrm{\infty }$としてよい.このとき(＊)を満たしたままである. (＊)から$X=\{(x,y)||f(x,y)|\le 1\}$は原点中心のある開球$B(0,0,ϵ)$に含まれる. $f(\overline{B(0,0,ϵ)})$は$f$の連続性から$\mathbb{R}$の連結なコンパクト集合だから$[a,b]$と置ける. $X\subseteq B(0,0,ϵ)$だから$f({\mathbb{R}}^2\mathrm{\setminus }\overline{B(0,0,ϵ)})$は$[-1,1]$を含まない.$\frac{\alpha +a}{2}\notin [a,b]$だから$\frac{\alpha +a}{2},b+1\in f({\mathbb{R}}^2\mathrm{\setminus }\overline{B(0,0,ϵ)})$.これは$f({\mathbb{R}}^2\mathrm{\setminus }\overline{B(0,0,ϵ)})$の連結性に反する.