三角形に関する問題のムチャクチャにエレガントでエレガントすぎる解法

三角形に関する問題のムチャクチャにエレガントでエレガントすぎる解法

間違っている所

正三角形と置かず、二等辺三角形と置かなければならない。
まあ、そんな簡単な訳ないか。
二等辺三角形の面積は、底辺を$a$とした時に$\frac{1}{2}{a}^2\tan \theta$。
それ以外は変わらない。
$\alpha +\beta =180\mathrm{°}-2\theta$
という式は立てられる。
しかしこれ以上変数を消しようがないので、これが答えだ。
よかった、変数を消さないでよくて。消すにはもう1つ余弦定理で立式したりすることになるので、大変なことになる。
いや、残りの辺が$a$でなければならない。
つまり正弦定理より
$\frac{a-d}{\sin \beta }=\frac{a}{\sin \theta }$
正弦定理より
$\begin{array}{rcl}& \frac{\frac{\frac{a/2}{\cos \theta }}{2}}{\sin \beta }& =\frac{a}{4\sin \beta \cos \theta }\\ & & =\frac{b}{\sin \{180\mathrm{°}-(\alpha +\beta )\}}\\ & & =\frac{b}{\sin \alpha +\beta }\end{array}$
$sin\beta$を消去しようとしても$sin(\alpha +\beta )$が加法定理を使わないと消えないので、余計ぐちゃぐちゃになってしまう。
この連立方程式を解とするのが一番簡素かつ分かりやすい。

問題

ひとつの三角形があり、その3辺の長さは公差$d$の等差数列になっている。この三角形の面積を$t$として、各辺の長さとそれらのなす角度を求めよ。

解法

図はスマホなので作れない。
必要があれば後で載せる。
まず底辺を水平に、正三角形を描く。
右の線を$d$上に伸ばす。点を右端にプロットする。
底辺を、右から$d$進んだ場所に点を打つ。
この二点を結ぶと、正三角形の外と内に合同な三角形ができる。正三角形の一辺を$a$と置くと
$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=t$
$a=\sqrt{\frac{4\sqrt{3}}{3}t}$

以下のように変数を置く。
正弦定理より
$\frac{d}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin 2\theta }$

余弦定理より
$b^2=d^2+(\frac{a}{2}{)}^2-2d\ast \frac{a}{2}\ast \cos 2\theta$
$4b^2=4d^2+a^2-4ad\cos 2\theta$


以下$\theta =60\mathrm{°}$とした時のみ正しい

$\begin{array}{rcl}& 4b^2& =4d^2+a^2+2ad\\ & & =(a+2d{)}^2\end{array}$
$b=\pm \frac{1}{2}(a+2d)$
$\sin \alpha =\frac{\sin 120\mathrm{°}}{b}\ast d$
${\sin }^2\alpha =\frac{3}{4}\ast \frac{d}{b}$

ここまで$\theta =60\mathrm{°}$とした時のみ正しい


余弦定理より
$d^2=(\frac{a}{2}{)}^2+b^2-2\ast \frac{a}{2}\ast b\ast \cos \alpha$
$\cos \alpha =\frac{b^2-d^2}{ab}$
${\cos }^2\alpha =\frac{{b^2-d^2}^2}{a^2{b}^2}$


以下$\theta =60\mathrm{°}$とした時のみ正しい

$\alpha =\frac{3d^2}{4b^2}+\frac{(b^2-d^2{)}^2}{a^2{b}^2}$


ここまで$\theta =60\mathrm{°}$とした時のみ正しい
実際には$\theta$は変数なので、$\alpha$は求まらない。
正弦定理より
$\frac{a-d}{\sin \beta }=\frac{a}{\sin \theta }$
$\begin{array}{rcl}& \frac{a}{4\sin \beta \cos \theta }& =\frac{b}{\sin \{180\mathrm{°}-(\alpha +\beta )\}}\\ & & =\frac{b}{\sin \alpha +\beta }\end{array}$
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これは数学オリンピックの問題で、テレンス・タオがある本で出題していた。参考文献参照のこと。