大学数学基礎解説

二項係数の積分、Fourier変換

積分,Fourier変換

\begin{align} \binom{a}{x}\equiv \frac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(x+1)\Gamma(a-x+1)} \end{align}
とする。

いい$a,x$の条件の下で、
\begin{align} \binom{a}{x}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1+e^{it})^ae^{-ixt}dt \end{align}

証明は省くが、良い感じに複素積分をするとベータ関数が出てくる。特に$x\in \mathbb{Z}$のときは、一般化二項定理から導かれる$(1+z)^a $のFourier展開係数であるという意味で自然。

ディラックのδ関数$\delta(x)$について、超関数の意味で
\begin{align} \delta(s)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ixs}dx \end{align}

右辺の積分は一般に収束しないが、上手く扱うことができる。

一乗のFourier変換

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}e^{2\pi isx}dx=\begin{cases}\displaystyle{(1+e^{2\pi is})^a } & |s|<1/2\\ \displaystyle0 & |s|\ge1/2\end{cases} \end{align}

（厳密ではない）

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}e^{2\pi isx}dx&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi isx}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1+e^{it})^ae^{-ixt}dtdx \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1+e^{it})^a\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ix(s-t/{2\pi})}dxdt \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1+e^{it})^a\delta(s-t/{2\pi})dt \\ &=\int_{-\pi}^{\pi}(1+e^{it})^a\delta(2\pi s -t)dt \quad\left(\because \delta(ax)=\frac{\delta(x)}{|a|}\right) \end{align}
もし$|s|<1/2$ならば、$2\pi s-t=0$を満たす$t$が$\left[-1,1\right]$に存在する。$\int f(x)\delta(x)dx=f(0)$より、
\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}(1+e^{it})^a\delta(2\pi s -t)dt=(1+e^{2\pi is})^a \end{align}
$|s|\ge1/2$ならば被積分関数は積分区間では常に$0$なので、積分結果も$0$

とくに$s=0$のとき、積分は、
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}dx=(1+1)^a=2^a \end{align}
となる。

二乗のFourier変換

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}^2e^{2\pi isx}dx=\begin{cases}\displaystyle2^ae^{\pi isa}\int_{0}^{\min(1-s,1+s)}\left(\cos(\pi t)+\cos(\pi s)\right)^adt & |s|<1 \\ \displaystyle 0&|s|\ge 1 \end{cases} \end{align}

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}^2e^{2\pi isx}dx&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1+e^{it})^a\int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}e^{-ixt}e^{2\pi isx}dxdt \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1+e^{it})^a\mathrm{1}_{|s-t/{2\pi}|<\frac12}(1+e^{2\pi i(s-t/{2\pi})})^adt \\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(1+e^{\pi it})^a\mathrm{1}_{|s-t/{2}|<\frac12}(1+e^{2\pi i(s-t/{2})})^adt \end{align}
$ t\in\left[-\pi , \pi \right]$において $|s-t/{2}|<1/2$という条件は、$|s|>1$のとき満たす$t$は存在せず、$s<1$のとき、$2s-1< t<2s+1$である。
よって、
\begin{align} \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}(1+e^{\pi it})^a\mathrm{1}_{|s-t/{2}|<\frac12}(1+e^{s-t/{2}})^adt&=\frac{1}{2}1_{|s|<1}\int_{\max(-1,2s-1)}^{\min(1,2s+1)}(1+e^{\pi it})^a(1+e^{\pi i(2s-t)})^adt \\ &=\frac{1}{2}1_{|s|<1}\int_{\max(-1,2s-1)-s}^{\min(1,s2+1)-s}(1+e^{\pi i(t+s)})^a(1+e^{\pi i(s-t)})dt \\ &=2^{2a}e^{\pi isa}1_{|s|<1}\int_{0}^{\min(1-s,1+s)}\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}(t+s)\right)\right]^a\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}(s-t)\right)\right]^adt \\ &=2^{a}e^{\pi isa}1_{|s|<1}\int_{0}^{\min(1-s,1+s)}\left(\cos(\pi t)+\cos(\pi s)\right)^adt \end{align}

領域
$s=0$のとき、積分は
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}^2dx&=2^a\int_{0}^{1}(1+\cos(\pi t))^adt \\ &=\frac{2^{2a+1}}{\pi}\int_{0}^{\frac\pi2}\cos(t)^{2a}dt \\&=\frac{2^{2a}}{\pi}\frac{\Gamma(a+\frac12)\Gamma(\frac12)} {\Gamma(a+1)} \\ &=\frac{2^{2a}}{\pi}\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a+\frac12)\Gamma(a+1)}{\Gamma(a+1)^2}\\ &=\frac{2^{2a}}{\pi}\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(2a+1)\sqrt{\pi}2^{1-2(a+\frac12)}}{\Gamma(a+1)^2} \quad\left(\because \Gamma(x)\Gamma\left(x+\frac12\right)=\sqrt{\pi}2^{1-2x}\Gamma(2x)\right) \\ &=\frac{\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)^2}=\binom{2a}{a} \end{align}
さらに、$s=1/2$のとき、積分は
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}^2e^{\pi ix}dx&=2^ae^{\pi ia/2}\int_{0}^{1/2}\cos(\pi t)^a dt \\ &=\frac{2^ae^{\pi ia/2}}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos(t)^adt=\frac{2^{a-1}e^{\pi isa}}{\pi}\frac{\Gamma(\frac{a+1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac a2+1)}=\frac{e^{\pi ia}}{2}\binom{a}{a/2} \end{align}
また、$a\in\mathbb{Z}_{>0}$のときは、展開して逐次計算することで明示式を与えられる。
また、同様の計算をすることで
$$\int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}\binom{b}{x}e^{2\pi isx}dx=1_{|s|<1}\frac{2^{a+b}e^{\frac{a+b}{2}\pi si}}{2}\int_{\max\left(-1-s,s-1\right)}^{\min\left(1-s,1+s\right)}e^{\frac{\pi i}{2}\left(b-a\right)t}\left(\cos\left(\frac{\pi\left(t+s\right)}{2}\right)\right)^{b}\left(\cos\left(\frac{\pi\left(s-t\right)}{2}\right)\right)^{a}dt$$
$$\int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}\binom{b}{x}dx=\binom{a+b}{a}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty}\binom{a}{x}\binom{b}{x}e^{\pi ix}dx=\frac{i}{2\pi}\left(2^{b}e^{i\pi a}\cdot\frac{\Gamma\left(a+1\right)\Gamma\left(b-a\right)}{\Gamma\left(b+1\right)}{}_2F_1\left(a+1,-b,a-b+1;\frac{1}{2}\right)+2^{a}e^{i\pi b}\cdot\frac{\Gamma\left(b+1\right)\Gamma\left(a-b\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}{}_2F_1\left(b+1,-a,b-a+1;\frac{1}{2}\right)\right)$$
が分かる。ただし一番下は超幾何級数。