指数分布の期待値
実数$\lambda$が
$$
\lambda>0
$$
を満たすとする。確率空間$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$上の実数値確率変数$X:\Omega\to\mathbb R$が
$$
\mathbb P(X\le x)=
\begin{cases}
0, & x<0,\\
1-e^{-\lambda x}, & x\ge0
\end{cases}
$$
を満たすとき、$X$は指数分布$Exp(\lambda)$に従うといい
$$
X\sim Exp(\lambda)
$$
と表す。
$\lambda>0$とする。確率空間$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$上の実数値確率変数$X$が指数分布$Exp(\lambda)$に従うとする。すなわち
$$
\mathbb P(X\le x)=
\begin{cases}
0, & x<0,\\
1-e^{-\lambda x}, & x\ge0
\end{cases}
$$
が成り立つとする。このとき$X$は可積分であり
$$
\mathbb E[X]=\frac{1}{\lambda}
$$
が成り立つ。
定義より任意の$x\ge0$に対して
$$
\mathbb P(X>x)=1-\mathbb P(X\le x)=e^{-\lambda x}
$$
が成り立つ。また$x<0$では$\mathbb P(X>x)=1$である。
指数分布$Exp(\lambda)$の定義より
$$
\mathbb P(X\le x)=0\qquad(x<0)
$$
が成り立つ。ここで事象の補集合の関係として
$$
\{X>x\}=\{X\le x\}^c
$$
が成り立つ。従って確率の性質より
$$
\mathbb P(X>x)=1-\mathbb P(X\le x)
$$
である。よって$x<0$のとき
$$
\mathbb P(X>x)=1-\mathbb P(X\le x)=1-0=1
$$
となる。
ゆえ、以下では$x\ge0$のみを用いる。$X\ge0$がほとんど確実に成り立つ。実際
$$
\mathbb P(X\ge0)=1-\mathbb P(X<0)=1-\lim_{x\uparrow0}\mathbb P(X\le x)=1-0=1
$$
である。従って$X$は非負確率変数である。
確率空間$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$上の可測関数$X:\Omega\to[0,\infty]$をとる。このとき次が成り立つ。
$$
\mathbb E[X]=\int_{0}^{\infty}\mathbb P(X>t)\,dt
$$
この等式を用いるために、右辺が有限であることも同時に確認する。
上で示した$\mathbb P(X>t)=e^{-\lambda t}$より
$$
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\mathbb P(X>t)\,dt
&=\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda t}\,dt\\
&=\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}e^{-\lambda t}\,dt\\
&=\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac1\lambda e^{-\lambda t}\Bigr]_{t=0}^{t=b}\\
&=\lim_{b\to\infty}\Bigl(\frac1\lambda-\frac1\lambda e^{-\lambda b}\Bigr)\\
&=\frac1\lambda
\because e^{-\lambda b}\to0\ (b\to\infty).
\end{align}
$$
右辺は有限であるから、$\mathbb E[X]$は有限実数として定義され、上の公式により
$$
\mathbb E[X]=\frac1\lambda
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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