伊吹萃香数

伊吹萃香数

巨大数の定義をする。
$x,y,a,b,z\in \mathbb{Q}\mathrm{\exists }x\mathrm{\exists }y\mathrm{\exists }a\mathrm{\exists }b\mathrm{\exists }z$)
$q,Q_k,Q_m,S,T,A,B,D,a,b,e\in \mathbb{Q}\mathrm{\exists }q\mathrm{\exists }{Q}_k\mathrm{\exists }{Q}_m\mathrm{\exists }S\mathrm{\exists }T\mathrm{\exists }A\mathrm{\exists }B\mathrm{\exists }D\mathrm{\exists }a\mathrm{\exists }b\mathrm{\exists }e$)
$n,N,k,m,P,c,C,M,E,F,f,NumV,counter\in \mathbb{N}\mathrm{\exists }n\mathrm{\exists }N\mathrm{\exists }k\mathrm{\exists }m\mathrm{\exists }P\mathrm{\exists }c\mathrm{\exists }C\mathrm{\exists }M\mathrm{\exists }E\mathrm{\exists }F\mathrm{\exists }f\mathrm{\exists }NumV\mathrm{\exists }counter$)
$N=n{\uparrow }^{n}n$とする。
同じアルファベットを別の数に使うことがある。
$0$以上自然数$n$未満の$N$進数の実数$x$の小数点以下、ある位以下の数は実数$y$である。
有理数$q=x-y$とする。つまり、実数$y$を切り捨てる。$q$の切り捨てた位を小数点以下$N+1$番目の位とする。（$N$番目までの位をそのまま残す。）


$Q_0=q+{\displaystyle \frac{q}{n\ast N^N}}$とする。

その後は演算の度に別のxを使いqを求めながら
$$\begin{array}{rl}{Q}_1& =Q_0+{\displaystyle \frac{q}{n\ast N^{2N}}}\\ Q_2& =Q_1+{\displaystyle \frac{q}{n\ast N^{3N}}}\\ Q_k& =Q_{k-1}+{\displaystyle \frac{q}{n\ast N^{(k+1)N}}}\end{array}$$
かつ$0\leqq k\leqq N\uparrow \uparrow (N+1)$とする。

次に、これら全ての数$Q_m$（$0\leqq m\leqq km$は$k$と同じ範囲で値を取る）同士の和、差、積、二つの値のどちらかをどちらかで割り算してできる数を作る。全ての$x$は自由に変更できる。
全ての数が重複を許して$N$回ずつ迄登場してよいというルールで、
和と積だけで作った数の個数（重複したものは複数と数える）$P$にmを掛けた$P\ast m$（$m$は最大の$m$、以下$P\ast m$の$m$は最大の$m$）回の同一の数（$Q_m$、$0\leqq m\leqq km$は$k$と同じ範囲で値を取る）の登場を許して和、差、積を取るか、割り算をして数を作る。
ただし、以下のようなルールと、八つの特別なルールがある。

• 全ての$x$は$n$未満という制限の範囲で自由に変更できる。$m$が等しい同じ$Q_m$でも、多くの異なる値を持つことになる。その場合、それらの全ての$Q_m$は異なる値であるとする。$m$が異なるか、どこか一箇所の$x$が異なるだけで値が異なるので、それらの数は全て異なる数であるとする。（$m$が異なる場合$x$の登場する回数が異なるので、個数を含めて全ての$x$を完全に同じにはできないという意味である。）
  そもそも$x$の設定次第で初めから値が重複する数もあるが、それは後述の重複度$C$に重複した個数だけ値を足すものとする。（同じ値が$c$個あれば$c$を足す。一度しか登場しない数の重複度は$1$である。）前述、後述の全ての演算なしで初めから値が全く等しければそれは同一の数であるが、同一であっても重複度は重複した数だけ、より多く設定される。（より大きな値に定められる。）$C$の初期値は$0$である。$P$を求める時に作られた数の個数を$C$に足す。値が重複した数はその個数に応じて二つ以上に数える。一度しか登場しない数の重複度は$1$である。
• 積と割り算をした項、和と差より先に計算される項は一つの項と見なす。（括弧が含まれていて先に計算される場合は除く。）
• 計算の順番を変更する為に括弧は自由に使ってよいが、あっても計算結果の変わらない、意味のない括弧は設定してはいけない。後述の指数、対数の「項」の一部分、多項式の一部分を他の部分と括弧でくくるのは許される。指数の肩に乗った数は真っ先に計算する。特別ルール3の多変数高次多項式以外の全てのルールで途中で括弧を使う場合、括弧の入れ子の回数は$P\ast m$回迄となる。特別ルール3の多変数高次多項式は$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$回まで入れ子にしてよい。
• $P\ast m$個の異なる項に、それぞれの$Q_m$が登場してよい。（例外的にもっと登場する場合もある。）異なる$Q_m$が同じ項に登場してもよい。また、どれかの$Q_m$が登場していれば、同一の、または他の$Q_m$はその項に登場しなくてもよい。（例外を除いて項の個数の最大値は$P\ast m$（個）である。）
• 一部の例外を除いて、一つの項に対しての同一の数$Q_m$（$m$は変化する。変化することを$ch$で表す）の複数回の登場は$P\ast m$回まで許される。もっと多くの登場が許されるような特別な式も一部に存在する。それについては後述する。

特別ルール1　指数と対数

以下では指数、対数のことを「指数関数」「対数関数」と呼ぶことがある。
指数$a^b$の$a$と$b$に「$Q_m$（ch）に演算をしたもの」を代入した数と、対数${\log }_{a}b$の$a$と$b$に「$Q_m$（ch）に演算をしたもの」を代入した数も使ってよい。ただし、対数の$a\ne 1,a>0$かつ$b>0$とする。「$Q_m$（ch）に演算をしたもの」は、基本のルール、特別ルール$1,2,3$に従って作る。演算には何もしないことも含まれる。即ち$Q_m$（$ch$）そのものか、指数関数、対数関数に規則通り代入して作った値、後述の$a{\uparrow }^{b}z$の$a,b,z$に代入した値を用いた値、後述の多項式の値、それらを含めて、基本的に（例外に関しては文中に全て記載されている。以下も同じ）項の個数が$P\ast m$個以内、一つの項への同じ$Q_m$（ch）の登場が$P\ast m$回迄に制限されている中で、これら全てに和と差と積を取ることと割り算をしたものが「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」となる。
多項式の登場回数の制限には後述の特別な計算方法が用いられる。
対数の$a$と$b$がこの条件を満たさない場合、マイナスの数はマイナス$1$を掛ける。$a=1$の場合は特別に
${\displaystyle \frac{1}{N^{(m+1)N}}}$（mは最大のm）を$a$に足すことを許す。
そして対数${\log }_{a}b$の$a$と$b$に代入する。
この演算は全て制限なく行える。
指数と対数両方の$a,b$に代入された「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」の中に出てくる$Q_m$（$ch$）の登場は、課せられた$P\ast m$回の制限の回数には基本的に含まれない。
一つの指数関数、対数関数の同じ一つの「項」が式全体の異なる項にそれぞれ登場する回数が$P\ast m$回までに制限される。同じ指数関数、対数関数は同じ項に$P\ast m$個迄登場してよい。ただし、指数関数、対数関数の和、差、積、割り算をした数を一つの「項」（以上と以下の「項」は同じ意味である。多項式の説明に関する下のページでは別の意味で同じ言葉を用いる。）として数える。指数、対数の「項」は、一つの項に最大で$P\ast m$個迄登場してよい。
一つの「項」は指数と対数の、和、差、積、割り算をした数である。「項」の最大の項の数は$P\ast m$個とする。同じ「項」の同じ項には同じ指数関数、対数関数が$P\ast m$回まで登場してよい。
同じ「項」の一部分または全体を括弧の中に入れてそれを$b$乗したものを括弧に入れてまた$b$乗する時は、後述の肩の$b$と同じく$b$の項の数を$P\ast m$個迄に制限する。同じ$b$の項への同一の$Q_m$（ch）の登場は$P\ast m$回までとなる。この$b$は指数、対数、後述の多項式、クヌースの矢印記号は使えない。括弧の入れ子の回数も$P\ast m$個迄に制限される。以下特別ルール$3$の多変数高次多項式以外の全てのルールで途中で括弧を使う場合、括弧の入れ子の回数は$P\ast m$回迄となる。特別ルール$3$の多変数高次多項式は$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$回まで入れ子にしてよい。
指数関数、対数関数の$a,b$には以下のような数が入る。$Q_m$（$ch$）に対して和と差と積を取ることと割り算を行い、基本的に項の数は$P\ast m$個まで、一つの項への同一の変数$Q_m$（$ch$）の登場は$P\ast m$回までしか許されない。そのようなルールに従って作った数でなければならない。ただし例外として、ルールを守って作られた、指数関数、対数関数に値を代入した数は使ってもよい。その場合$a^b$の$a,b$へも${\log }_{a}b$の$a,b$へも、同様の規則を守って作られた数しか代入できない。また、後述の$a{\uparrow }^{b}z$、多項式は後述の制限の範囲で自由に使える。全く同じ$a,b$は$P\ast m$個までしか使えない。$a,b$の一つの項に$a,b$（前述の$a,b$と同一のどちらか。以下同じ）を代入して更に内側の$a,b$の一つの同じ項に同じ$a,b$を代入する再帰的代入は$P\ast m$回までしか許されない。途中で指数対数$a^b,{\log }_{a}b$の$a,b$に代入すること、クヌースの矢印表記$a{\uparrow }^{b}z$の$a,b,z$に代入することも含めてルール通りに何か演算をしても同じ$a,b$と見なす。
指数関数、対数関数は、対数は入れ子になっている場合、指数は肩に数が乗っている場合、一番外側の部分を一つの項と見なす。入れ子、肩の内側がどのようになっていても、一つの項、数と見なす。全く等しいかどうかを比較する時は、一つの項が等しいかを比較する。一つの項の内側が部分的にのみ等しい場合は等しいと見なさない。全く同じとは、指数の場合底と、肩に乗っている指数が両者で全く等しいこと、対数の場合${\log }_{a}b$の底$a$と$b$が両者で全く等しいことを意味する。同一かどうかを判断する時は分配法則、結合法則、交換法則等は無視し、また、計算の結果として値が同じになるものは同じものには含まれない。また、指数関数の肩$b$についても、最大の項の数は$P\ast m$個までとする。$b$の一つの項に同じ$Q_m$（$ch$）は$P\ast m$個迄登場してよい。$b$が「項」である場合もある。肩の肩に更に数を乗せた時、その肩の肩の数は$P\ast m$個の制限に含まれない。別に$P\ast m$個迄$Q_m$（$ch$）が使える。ただし、指数関数は同じ文字を$P\ast m$個より多く肩に乗せてはいけない。対数関数は同じ文字を$P\ast m$個より多く入れ子にしてはいけないことにする。即ち指数の場合だと、$a^{b^{b^{b^b\dots \dots }}}$のようにbを肩に乗せる場合、$b$の個数は$P\ast m$個より多くしてはいけない。途中の指数に何か和、積、割り算、引き算等、前述、または後述した内容の演算が含まれているのは問題がない。また、その場合肩に$b$そのものが乗っている箇所を数え、そのbの個数で制限が課される。例えば、$b$と$b+Q_m$は異なる数である。途中で指数に$b+Q_m$が含まれている時は、その部分は$b+Q_m$の数で制限が掛かるが、$b$の制限の数には入れない。途中に指数$b$そのものが肩に乗っている箇所が合計で$P\ast m$個ある時は、それ以上肩に指数$b$を乗せられない。$b$は「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」である。演算には何もしないことも含まれる。
$b$には前述のルールと同じく、以下のような数が入る。$Q_m$（$ch$）に対して和と差と積を取ることと割り算を行い、基本的には項の数は$P\ast m$個まで、一つの項への同一の変数$Q_m$（$ch$）の登場は$P\ast m$回までしか許されない。そのようなルールに従って作った数でなければならない。また、「項」に関しては前述の通りである。ただし例外として、ルールを守って作られた、指数関数、対数関数に値を代入した数は使ってもよい。その場合$a^b$の$a,b$へも${\log }_{a}b$のa,bへも、同様の規則を守って作られた数しか代入できない。また、後述の$a{\uparrow }^{b}z$、多項式は後述の制限の範囲で自由に使える。

$b$と同じ場所に入るb以外の数も同じように設定（設定とは、規則通り変数が代入された式で値を求められ定められることである）される。基本的にそれぞれの数を作る時の項の数は$P\ast m$個まで、同じ項への同じ$Q_m$（$ch$）の登場は$P\ast m回までに$制限される。「項」に関しては前述の通りである。ルールを守って作られた、指数関数、対数関数に値を代入した数は使ってもよい。その場合$a^b$の$a,b$へも${\log }_{a}b$の$a,b$へも、同様の規則を守って作られた数しか代入できない。分配法則、交換法則、結合法則等で等しくなる場合でも、式が変数の順番を含め全く同じでない場合、異なる式であると見なす。後述の$a{\uparrow }^{b}z$、多項式は後述の制限の範囲で利用してよい。多項式の登場回数の制限には後述の特別な計算方法が用いられる。
演算の方法は有限である為、有限個の数ができる。
指数は$P\ast m$個より遥かに多く肩に乗せることができる。対数も同様に、入れ子にできる回数は$P\ast m$回までである。そして、対数は指数と同様のルールを適用する。即ち、「項」に関しては前述の通りである。対数は指数のように肩には乗らないが、入れ子にする際に指数と同じように$a,b$に制限を課す。$a$が等しく、$b$にその同じ$a$が利用された対数が入れ子になって入っている形で同じ$a$を$P\ast m+1$個より多く使ってはいけない。途中に演算が含まれていても全く同じ$a$の利用回数で制限が課される。$b$は、$Q_m(0\leqq m\leqq km$は$k$と同じ範囲で値を取る)、それに演算をしたもの、指数と対数、後述のクヌースの矢印表記の数、後述の多項式への四則演算でできる式である。基本的にそれぞれの$b$を作る時の項の数は$P\ast m$個まで、同じ項への同じ$Q_m$（$ch$）の登場は$P\ast m回までに$制限される。ルールを守って作られた、指数関数、対数関数に値を代入した数は使ってもよい。その場合$a^b$の$a,b$へも${\log }_{a}b$の$a,b$へも、同様の規則を守って作られた数しか代入できない。分配法則、交換法則、結合法則等で等しくなる場合でも、式が変数の順番を含め全く同じでない場合、異なる式であると見なす。後述の$a{\uparrow }^{b}z$、多項式は後述の制限の範囲で利用してよい。多項式の登場回数の制限には後述の特別な計算方法が用いられる。この対数の$b$は多項式だが、後述の多項式とは関係がない。$b$への再帰的代入は$P\ast m$回まで許される。
つまり、$b$全体と全く同じ式をあるそのbの中の項に代入して、その$b$の中の同じ項に同じように繰り返して代入するというような再帰的代入は$P\ast m$回までしか許されない。途中で指数対数$a^b,{\log }_{a}b$の$a,b$に代入すること、クヌースの矢印表記$a{\uparrow }^{b}z$の$a,b,z$に代入することも含めてルール通りに何か演算をしても同じ式と見なす。更に、こうして作った対数同士、指数と対数で四則演算をして、基本的に項の数の最大値が$P\ast m$、一つの項への同じ$Q_m$（ch）の登場が$P\ast m$回までに制限された中で自由に数を作り、それを一つの「項」と見なす。指数と対数が混ざった「項」も作ってよいが、「項」の項の数の最大値は$P\ast m$、「項」の一つの項への同じ$Q_m$（$ch$）の登場は$P\ast m$回までに制限する。
指数、対数の中の$Q_m$（ch）は基本ルールの$P\ast m$回の制限には含まれない。ただし、基本的に一つの項に最大でも同じ$Q_m$（$ch$）を$P\ast m$個までしか使ってはいけない。「項」には同じような前述のルールが課せられる。$a$や$b$が異なれば（対数${\log }_{a}b$の$b$に「底$a$の同じ対数関数」が入れ子になって入っていないか、入っていても$b$が異なる場合）別の数と見なす。ただし、対数を指数関数$a^b$のbに代入し肩に乗せるのは問題ない。前述の通り、指数、対数の「項」は一つの項に最大で$P\ast m$個迄登場してよい。作った数が重複した場合は、重複度を後述の通り余分に増やす。こうやって作った全ての数も制限の範囲で他の数を作るのに利用できる。出来上がった「項」の数だけ重複度Cを増やす。また、同じ値になった「項」の数だけ重複度$C$を余分に増やす。一度しか登場しない数の重複度は$1$である。

特別ルール2　クヌースの矢印表記

$M=a{\uparrow }^{b}z$の$a,b,z$にも代入できる。まず、$b\ne 0$である。$b=0$の場合、$b=P\ast m$とする。また、$a,b,z$が自然数でない場合は、マイナスの場合$-1$を掛け、小数の場合は自然数になるように$10$を必要な回数掛けてから計算する。$0$は自然数に含まれる。$10$を掛けても自然数にならない数の場合、$N$等の$0$以外の他の数を掛けて自然数にする。それでも自然数にならない場合、他の数を掛けるのは一旦やめて、使われている$Q_k$の内、一番小さい桁まで存在する$Q_k$の$k$を用いて表される$(k+1)N$桁以下を切り捨て、その後$10$か「$0$以外の何かの数」を必要な回数掛ける。自然数になったのに余計に$10$や「$0$以外の何かの数」を掛けることは禁止する。$10$を何回掛けても自然数にならない場合だけ、他の数を掛ける。自然数にする為に掛ける$10$と$N$等の数は最小限にする。以上の演算は回数の制限に含まれない。
$a,b,z$に代入できるのは、前述と後述の全ての方法で作られた数となる。こうして作った数そのものを$a,b,z$に繰り返して代入するのは、一つの数につき$P\ast m$回までと制限する。$a,b,z$（どれか一つ）に代入された数に演算をしてまた同じ変数$a,b,z$（アルファベット順でどれか一つ）に代入すると、$1$回繰り返して代入したことになる。そうやって代入した数と同じ$a,b,z$（アルファベット順でどれか一つ）への代入を$P\ast m$回より多く繰り返すのは禁止する。途中で別の演算をするのは他の制限の範囲で自由であるが、演算をしても同じ数と見なす。
他に$a,b,z$に入る数は、前述の通り$P\ast m$個までの項の数の制限と一つの項への同一の数$Q_m$（ch）の登場の、$P\ast m$回までの制限が基本的に課された中で、和、差、積を取ること、または割り算を行ったもので、その中で特別ルール$1,2,3$にあるように
前述のルールを守って作った指数と対数
後述の多項式
を利用して作られるあらゆる数を利用してもよい。前述の指数、対数は同一の項に$P\ast m$個迄登場してよい。後述の多項式には後述の特別なルールが課せられる。また、クヌースの矢印表記で作った同じ数を$P\ast m$回まで同じ$a,b,z$に代入してよい。その場合、同じ数が$P\ast m$回より多く同じ変数に代入されてはいけない。途中で演算をした場合も同じ数と見なす。
$a,b,z$のどれかが異なる数は、全て異なる数である。代入する前にマイナス$1$を掛けたり自然数になるように演算をして元々代入できる数としてあった$a,b,z$と$a,b,z$全てが同じ値になった場合は、重複した分だけ重複度を余分に増やす。

特別ルール3　多変数高次多項式

そして更に、1次以上$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$次以下かつ$1$個以上$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$個以下の項を持つ多変数多項式の係数に「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」を利用し、それぞれの係数と変数に「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」を代入した数も作ることができる。
「$Q_m$（ch）に演算をしたもの」は、基本的には基本のルールに従って作る。演算には何もしないことも含まれる。即ち$Q_m$（$ch$）そのものか、指数関数、対数関数に規則通り代入して作った値、$a{\uparrow }^{b}z$の$a,b,z$に代入した値を用いた値、多項式の値、それらを含めて、特別ルールの例外を除いて項の個数が$P\ast m$個以内、一つの項への同じ$Q_m$（$ch$）の登場が$P\ast m$回迄に制限されている中で、基本的にはこれら全てに和と差と積と割り算をしたものが「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」となる。
この多項式は項の個数は$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$個までに、同じ項に対しての同一の変数$Q_m$（$ch$）の登場は$P\ast m$回までに制限されているが、基本的にはどの数をどこに代入してもよい。一箇所でも違った形で数が利用されていれば、それは別の数と見なす。
多項式の変数、係数に代入する数には前述の全てのルールが適用され、一つ一つの変数や係数は前述の基本のルールと特別ルール通り演算が行われた数である。即ち、同じ項への同一の数の登場は$P\ast m$回まで、項の数は$P\ast m$個までで、指数関数、対数関数、$a{\uparrow }^{b}z$を特別に代入してよく、前述のルールの範囲で多項式自身を利用してもよい。そして前述の通り、和と差、積を求めたり、割り算をしてよい。
値が等しくなることもあるが、その場合一つの数が$c$個存在する毎に後述の重複度に$c$が足される。一つしか存在しない数の重複度は$1$である。
多項式のバリエーションは無限ではなく、有限となる。

重要な注意事項

　多項式は全体で一つの項と見なす。$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$個以下の「項」を持つ多項式の全体が、一つの項として扱われる。また内部で利用した$Q_m$（$ch$）は、利用したものと見なさない。更に、多項式の出現回数の制限は上記の通りに作った一つの多項式のまとまりを一つの項であるとして一つと数え、項の数を数え、$P\ast m$個までとする。従って、一つの項として存在する多項式そのものの数を、他の制限の中で「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」、即ち$Q_m$（$ch$）の含まれる項の数として数える必要はない。一つのまとまりとしての多項式の中で、それだけが独立した部分であるかのように全ての制限が課される。
それぞれの多項式は一つのまとまりとして数えるが、多項式そのものは複数の「項」（「重要な注意事項」以下の鉤括弧付きの「項」は同じ意味である。）で作られている。そして、一つの項としての多項式内部の「複数の項」一つ一つのそれぞれの「項」に「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」はそれぞれが$P\ast m$回登場してよい。この時基本ルールにある「項」の数を$P\ast m$個までにする制限は無視され、$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$個まで「項」を持ってよいルールが適用される。
ただし、多項式の値を「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」の入る部分に代入し、その多項式の内部の同じ変数に全く同じ多項式を代入し、更にその一番内部（内側）の多項式の同じ変数に全く同じ多項式を代入するというような再帰的代入は、代入の回数を最大で$P\ast m$回までに制限する。（更に後述する。）
式の他の部分と多項式のまとまりの部分の両者は、全く無関係に扱われる。
ただし、指数と対数やクヌースの矢印表記、多項式自身の中に多項式が入っていてもよい。その場合多項式のまとまりの数を数え、一つの多項式のまとまりの中の同じ「項」への代入の数の最大を$P\ast m$個までに制限する。一つの項としての多項式のそれぞれの「項」、それぞれの変数が、交換法則と結合法則を無視して「項」、式の並び順まで全く同じにならないような多項式は異なる式であるとする。交換法則と結合法則を無視して式の並び順まで全く同じになるような多項式をその同じ多項式の一つの「項」の変数、係数に代入して、その代入された外側の多項式ではなく代入した方の内側の多項式の同じ「項」にまた同じように全く同じ多項式を代入して、同じ形の多項式の同じ「項」に$P\ast m$回代入がなされることは許すが、それ以上同じ「項」に同じ多項式のまとまりを代入してはいけない。また、代入の途中で同じ「項」に対して他の演算（指数や対数、クヌースの矢印表記の一部分、多項式の一部分に代入することも含む。以下も同じ意味）を行っている場合でも許されない。その代入する多項式は、基本のルールと特別ルール1,2,3に基づいて作られたものである。
一つの指数関数の底の肩に指数が乗っている数、対数関数の入れ子のまとまりの両者は一つの項と見なす。指数はその底の肩、対数は入れ子になっている内側全部、その内部の一つの項としての多項式のまとまりの中の、同じ「項」への同じ多項式の代入の回数を$P\ast m$個までに制限する。途中でその式、項に他の演算が行われていても同様に制限される。多項式全体を一つの項として見て、同じ指数、対数に多項式は$P\ast m$個迄登場してよい。その項のその指数関数、対数関数の一番外側、全体としての数を一つの「項」の中の一部分の式であるとする。その一つの式としての全体に更に演算して「項」を作ってもよい。クヌースの矢印表記で表記された数も、一番外側の表記以外の入れ子になっている内側の部分は無視して一つの項と数える。代入する時は特別ルール2の通りに$b\ne 0$となるようにし、特別ルール2の通りに$b\ne 0$かつ全ての数を自然数にしてから代入する。そして、その内側の部分の、一つの項としての多項式のまとまりの中の、同じ「項」への同じ多項式の代入の回数を$P\ast m$個までに制限する。途中でその式、項に別の演算が行われていても同様に制限される。多項式全体を一つの項として見て、同じクヌースの矢印表記の$a,b,z$に多項式はそれぞれ$P\ast m$個迄登場してよい。（ここまでは通常の多項式のルールと殆ど違わない。違うのは全体を一つの項として数えることだけである。）多項式の中に指数と対数、クヌースの矢印表記が入っている場合、入っているそれぞれの数を規則通りに作れば、前述の制限以上の制限は課されない。一つの多項式のまとまりを複数に数えることはしてはいけない。
従って、基本のルールで使い尽くした$Q_m$（$ch$）も、指数や対数に「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」を代入した数も、$M=a{\uparrow }^{b}z$に「$Q_m$（ch）に演算をしたもの」の$a,b,z$を代入した数も、この制限と前述の制限の範囲で自由に使える。前述のルールと矛盾する場合でも、こちらのルールが優先される。
最後に、このルールで作った「異なる式」全ての個数を$C$に足す。$C$に関しては後述する。

重複度の導出

特別ルール$4,5$の適用の前に、重複度の計算をする。
「全ての$x$」を変更して作れる異なる数は全て異なる数とする。
また、「別の方法」で同じ数を作ってしまうことがあるが、$c$個が同じ値になった場合重複度を$c$とする。ただし、全ての計算を終えて作られた数の中で、値として一つしか作られなかった数は重複度が$1$である。特別ルール$2$のクヌースの矢印表記の重複の数と、特別ルール$3$の多項式、特別ルール$1$の指数、対数の数、初めに$P$を求める時に作った数の個数の和が既に$C$に代入されている。それと全ての重複度の和を$C$とする。更に、$10$進法で全ての数の全ての桁が一つでも一致している場合、一致した桁の個数の二倍を$C$に加える。即ち、ある数$A$と$B$のある桁が一致していた場合、$C$に4を加える。$B$と$D$のある桁が一致していたら$4$を加える。更にBの別の桁が$D$と一致していたら更に$C$に4を加える。$A$と$B$と$D$のある桁が一致していたら$C$に6を加える。それ以上一致した場合も同様に計算する。ただし、小数点以下が無限に一致した場合、無限ではなく（一致した個数の二倍）$\ast P\ast m$を重複度に加える。
「別の方法」とは、結合法則や交換法則、分配法則等全てを無視して式の変数、演算の記号等、全ての部分が一致していない場合、その全てが別の方法であると見なす。ただし、あってもなくても計算結果が変わらないような不必要な括弧の数を増やしたり、同じ計算をする式の記号や分数等の書き方を違ったように変えても別の方法にはならない。また、分数が約分すると等しくなる場合でも同じとは見なさないで「別の方法」で作ったと見なす。

特別ルール$4$　複素数の単位円上のω

以上のルールで作った全ての項の中に含まれる変数、つまり$Q_m$（$ch$）と「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」、「$Q_m$（$ch$）に演算をしたもの」の一部分の数、それを用いて作られた全ての数（指数対数の肩や入れ子の中の数、一つの「項」（前者の「項」）の中のそれぞれの項の数、項として数えられる多項式のまとまりの中の、一つ一つの「項」（後者の「項」）の中の数、クヌースの矢印表記$a{\uparrow }^{b}z$の前述の$a,b,z$、それら全てが複数の数で出来ている場合、その全ての部分的な数も含む）に、複素平面上で絶対値が$1$となる単位円上に存在する、${\omega }^{P\ast m}=1$となるような$\omega$の$1$乗から$P\ast m-1$乗までの$\omega$の巾乗の複素数を自由に掛けることができる。ただし、複素数を掛けない実数の数を元に重複度は導出できる。特別ルール$4$までで最終的に出来上がった複素数の個数も$C$に足す。数が重複していたらその分$C$に数を足す。クヌースの矢印表記$a{\uparrow }^{b}z$の$a,b,z$には虚数は代入できない。代入する時は絶対値を求めて実数にしてから特別ルール$2$その他のルールの通りに$b$には$b\ne 0$の値だけを代入し、$a,b,z$全て自然数にして（$b$は$0$以外にする）代入する。作った数は指数や対数にも代入できるが、虚数は${\log }_{a}b$の$a$には代入できない。$a$が虚数の時はその絶対値を$a$に代入する。そして前述の特別ルールに従い、対数${\log }_{a}b$の$a\ne 1,a>0$かつ$b>0$とする。基本的には$b$は実数であるとする。ただし、$b$には虚数が代入できる。その場合$b$と$0$の大きさは比較できない。$b$が虚数の時はそのまま計算する。そうでない時は前述の特別ルール$1$に従う。\

特別ルール5　$y$軸、$z$軸成分のベクトル

以上のルールで作り、できあがった全ての複素数に対して、更に特別ルール$4$までで作った複素数の絶対値$S$の長さを持つy軸方向のベクトル$(0,S,0)$と、同じように$z$軸方向に長さ$T$を持つベクトル$(0,0,T)$を足すことができる。元々の数は原点から$x$軸に平行な向きの数である。更にそのベクトルの$y$成分と$z$成分に、虚数単位$i$を掛けることができる。出来上がったベクトルは$y$軸、$z$軸の方向にも複素数の成分を持つ複素ベクトルとなる。更にその足して出来たベクトルに対して和、差、積を取るか、割り算をすることができる。前述と同じようなルールで、最大の項の数は$P\ast m$個まで、一つの項に対しての同じベクトルの利用は$P\ast m$回までとなる。また、足し合わせる前に、それぞれの$y$軸、$z$軸方向のベクトルと、特別ルール$4$までで作った複素ベクトルに、$Q_m$（$0\leqq m\leqq km$は$k$と同じ範囲で値を取る）を掛け合わせて、長さを変えることができる。同じベクトルに対して、同じ$Q_m$（$ch$）は$P\ast m$回まで使ってよい。全ての$Q_m$（$ch$）を同じ複素ベクトル、同じ$y$成分、同じ$z$成分に$P\ast m$回まで掛けることができる。
その後そのベクトルに対して和、差、積を取るか、割り算の演算をする。一回の演算で項の数は$P\ast m$個、一つの項に同じ複素ベクトルは$P\ast m$個登場してよい。
複素ベクトルができる。演算には何もしないことも含まれる。
$S,T$は全ての$x$を変えて長さの値を変えることができる。
ここまでに作られた全てのベクトルの全ての実部と虚部の成分の、「一致した桁の個数」の二倍を$C$に加える。また、それに該当せず、同じ桁で一度しかその値が登場しなかった桁の個数を更に$C$に加える。

特別ルール$6$　$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$次元のベクトル

同様にして、ベクトルの次元を$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$次元にする。$3$次元のベクトルを作った時と同じような演算をする。全てのベクトルのある次元の要素を取り出した異なるベクトル同士は直交する。出来上がるベクトルの次元が奇数の場合は二次元増やす毎に特別ルール$5$のような演算をする。その中に、ベクトル同士の四則演算も含まれている。一回の演算で項の数は$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$個、一つの項に同じ複素ベクトルは$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$個登場してよい。
ただし、特別ルール$4$までで作った複素数の代わりに、初めは特別ルール$5$で作った三次元ベクトルの絶対値を利用し、その次に$2$次元増やす時とそれ以降は、直前に作った高次元ベクトルの絶対値を利用する。
そして$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$次元になるまで計算する。
偶数次元の場合は$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)-1$次元まで奇数の時と同じように計算し、直前に作った$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)-1$次元ベクトルの絶対値を利用して次元を1次元増やし、それに特別ルール5のルール通り虚数を掛けるかどうかを選び、それに更に四則演算をする。一回の演算で項の数は$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$個、一つの項に同じ複素ベクトルは$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$個登場してよい。特別ルール5と異なり、どちらの場合も、同じベクトルに対して、同じ$Q_m$（$ch$）は$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$回まで使ってよい。全ての$Q_m$（$ch$）を同じ複素ベクトル、同じ$y$成分、同じ$z$成分に$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$回まで掛けることができる。
また特別ルール$5$とは異なり、次元を増やす演算の前に毎回、全てのベクトルの成分に$Q_m$（$0\leqq m\leqq km$は$k$と同じ範囲で値を取る）を掛けることができる。前述の通り、同じベクトルに対して、同じ$Q_m$（ch）は$(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)$回まで使ってよい。また、途中で各成分の小数点以下が全部整数になるように10を必要な最小限の回数掛けて自然数にすることができる。この計算はこの特別ルール6の演算の途中のいつでもできるが、してもしなくてもよい。ただし、小数点以下が無限桁ある数は、$(P\ast m){\uparrow }^{(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)}(P\ast m)$桁以下を切り捨ててから計算する。この演算をした数を更に計算に利用することもできる。\

特別ルール7　ベクトルの写像

全てのベクトルの$x,y,z\cdots$成分の実部と虚部の大きさは、ある実数である。
全てのベクトルの$x,y,z\cdots$成分の実部と虚部の成分の値の内、最も桁の大きな値以外に、最も桁の大きな数Eの最も大きな桁に1を代入し、残りの桁に0を代入した数$100\cdots 000$を加える。
全てのベクトルの$x,y,z\cdots$成分の実部と虚部の成分の値の内、小数点以下の最も桁数が長い値以外の値に、小数点以下の最も桁数が長い数Fの最も小さい桁fに1を代入し、残りの桁に0を代入したF桁の$0.00\cdots 1$を加える。無限桁まで存在する数が最も桁数が多いが、それらの数は無視し、それ以外で最も桁数の多い数を選ぶ。選んだら、無限桁存在する数はF桁未満を切り捨てる。
そしてここから暫く、全てのベクトルの実部と虚部を同じように扱う。
また、ここから「写像」を定義する。定義しても、一般的な意味で「写像」という言葉を用いることがあることに注意せよ。
写像とは、対応のことである。対応関係の前者、入力と後者、出力を元と呼ぶ。一つの元から複数の元に対応していてもよい。
ある元に対応している元がある場合、前者の元を原像、後者の元を写像、または像と呼ぶ。
また、原像$a$から像$b$に対応する写像があり、原像$c$から像$d$に対応する写像がある時、この$2$つを合成することができる。合成する時は両方の写像を関数として扱い、その場合原像または入力が$a$、後者の関数に$b$を代入した値$e$が合成した写像、別名合成写像の元、または像か写像、または出力となる。そして入力$a$から出力$e$を出力する合成写像ができる。複数合成をする時も同じようにする。また入力に対しての出力を定めることを「写像、または像を写す」という。
写像または合成写像の入力または原像またはその集合を始集合と呼び、出力または像、または写像またはその集合を終集合と呼ぶ。
ある整数部分が$E$桁、小数点以下が$F$桁の$10$進法の数は、全部で${10}^{E+F}$個ある。
これら全てのある数からある数までの写像の数は、${{10}^{(E+F)}}^2$個ある。このようなある数の集合に対してのある数の集合への写像の、全ての取りうるパターンを全て写し、全てのパターンの写像の集合を$Mirror$とする。
そして、ここまでに最終的に作られた全てのベクトルの集合を$U$とする。
$U$の元のベクトル全ての実部と虚部の成分の数字（虚部は虚部だけの絶対値、以下も同じ）は、ある整数部分がE桁、小数点以下がF桁の10進法で表せる数で表せる。この「ある整数部分が$E$桁、小数点以下が$F$桁の10進法で表せる数」全ての数に対しての$Mirror$を考え、$0$個以上$Mirror$個以下の$Mirror$の一つ一つの写像を全てのパターンを網羅するように合成することを考える。
一つの元から複数の元に写像を写す場合でも、それぞれの写像を一つ一つ合成する。合成する時に$Mirror$の異なる写像同士でも合成する。この時、全ての写像を関数として適用し、元$a$（この$a$は前述の$a$ではない）に対して、原像$X$から像$Y$に対しての写像は、$f(a)=Y/X$という関数であるとする。一つ一つの写像に対して一つずつ写像（関数）を用意する。有理数は体なのでこの計算ができる。こうして出来た全ての写像の、最終的な始集合から終集合までの合成写像の写像を$Mirrored$、全ての写像の集合の名前も$Mirrored$とする。$Mirrored$を作る$Mirror$の元の個数は入力の整数部分と小数部分の桁数によって決まる。
入力$U$の全てのベクトルの全ての次元の実部と虚部の要素に対して$Mirrored$を写した出力は、全てのベクトルの実部、虚部の、全ての次元の、全ての要素の成分にこの写像を（$Mirrored$の元を）一つずつ全て適用して、全ての成分が変更されて、最終的に出来上がったベクトル全てである。
$Mirrored$の元の個数だけ$U$の同じ一つのベクトルに対し写像を写し、$U$の一つのベクトルから$Mirrored$個のベクトルを作る。
こうして出来た全ての写像の、最終的な終集合の写像の元の個数を、$C$に加える。違う計算方法で同じ次元の成分かつ、実部は実部、虚部は虚部である桁が同じ成分の値ができた時は、重複度をその桁の数の二倍だけ増やす、桁の重複は$10$進法で判断し、あるベクトルの実部か虚部のどこかの成分の小数点以下が無限桁重複した場合、その（重複したベクトルの数の二倍）$\ast (P\ast m){\uparrow }^{(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)}(P\ast m)$だけ重複度$C$に数を足す。それ以外で全ての成分が全く一致したベクトルがあった場合は、（一致した桁の数）$\ast P\ast m\ast (P\ast m){\uparrow }^{(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)}(P\ast m)\ast 100{\uparrow }^{100}100$を$C$に加える。$1.00$のように一番下の桁からある桁まで$0$を並べることはできない。全ての次元の成分、しかも全ての成分の実部と虚部が同じベクトルは、複数に数える。
また、全ての虚数の絶対値を$x,y,z\cdots$成分全てで取った実ベクトルの個数も、$C$に加える。
こうしてできたベクトルの集合を$V$とする。

特別ルール8　$Mirror$の合成

初期値として、$NumV=(P\ast m){\uparrow }^{(P\ast m){\uparrow }^{P\ast m}(P\ast m)}(P\ast m)$とする。
$V$に特別ルール$7$の演算をしてその写像を$V$に代入し$V$を更新することを$NumV$回繰り返し、$V$を更新する写像を$VProduct(V)$とする。更新された$V$の情報は失われない。
$NumV$は初期値が決まっており、値は常にこの巨大数の計算を通じて常に維持され、更新されるべき時に更新される。しかも、大きくなるように値が代入される時は値を更新し、より小さくなるように値が代入されそうになると、更新されずより大きな値が維持されるものとする。
引数に代入される$V$も、出力の$V$も、ベクトルの集合である。初めは$NumV$の値を使って$VProduct(V)$を計算し、$NumV$に$V$の元の個数を代入し$NumV$を更新することを$NumV{\uparrow }^{NumV}NumV$回繰り返す。それを$NumV{\uparrow }^{NumV}NumV$回繰り返すことを$NumV{\uparrow }^{NumV}NumV$回繰り返す計算をする。
その出力の集合を$V$に代入する。

特別ルール終わり

巨大数の導出

制限回数と全てのルールを守られて作られた、実部と虚部のどれかの成分の異なる全てのベクトルは異なるベクトルである。$U$と$V$の元の数だけ、$C$に数を足す。$C$は初期化されず、増え続けるが、後述の$counter$を増やす時に初期化される。
全ての実数$x$の値をルールの範囲で自由に変えることができるとして、全ての基本のルールと特別ルールに従って一通り計算し$V$を更新した時、$V$の元が何通りの異なる複素ベクトルを表せるかを、
$f(n)$とする。
初め$counter=0$とする。
$f(n)$に$n$を代入して、
$f(n)$を求める。
求めた値を$n$に代入する。
この時$C$が定まる。
$C$の数だけ
「$n$を代入して$f(n)$を求め、その値を$n$に代入すること」を繰り返す。$C$回繰り返したら$counter$に$1$を足す。
そしてまた、初めに戻って$f(n)$に$n$を代入する。$C$が求まるので、$C$の数だけ
「$n$を代入して$f(n)$を求め、その値を$n$に代入すること」を繰り返す。$C$回繰り返したら$counter$に$1$を足す。
これを$counter=$（初めに出力された$f(n)$）になるまで繰り返す。
ただし、$f(n)$の値を求める時は一回毎に、$n$を代入して既に求めた一番新しい$f(n)$の値を$n$に代入してから、その$n$を用いて値を求める。
これら全ての演算をして最終的な$f(n),n$を求める関数を$Sparse\mathrm{\_}And\mathrm{\_}Dense(n)$とする。

$n=100{\uparrow }^{100}100$の時の最終的に求まった
${}^{100}Sparse\mathrm{\_}And\mathrm{\_}Dense(n)$を


伊吹萃香数

Ibuki Suika Number

とする。