科学大数学系院試過去問解答例(2022午前01)

まず
$$ f_\sigma(v_1+v_3+v_5)=v_1+v_3+v_5 $$
$$ f_\sigma(v_2+v_4)=v_2+v_4 $$
$$ f_\sigma(v_2-v_4)=-(v_2-v_4) $$
が成り立っている。また$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$としたとき、
$$ f_\sigma(v_1+\omega^2 v_3+\omega v_5)=\omega(v_1+\omega^2 v_3+\omega v_5) $$
$$ f_\sigma(v_1+\omega v_3+\omega^2 v_5)=\omega^2(v_1+\omega v_3+\omega^2 v_5) $$
である。

1. 上記の議論から$f_\sigma$の最小多項式は${\color{red}(X-1)(X+1)(X^2+X+1)}$、固有多項式は${\color{red}(X-1)^2(X+1)(X^2+X+1)}$である。
2. 上記の議論から固有値は${\color{red}\pm1,\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}}$であり、固有値$a$の固有空間を$V_a$とおくと、
   $$ V_1=\langle {\color{red}v_1+v_3+v_5,v_2+v_4}\rangle $$
   $$ V_{-1}=\langle {\color{red}v_2-v_4}\rangle $$
   $$ V_{\omega}=\langle {\color{red}v_1+\omega^2 v_3+\omega v_5}\rangle $$
   $$ V_{\omega^2}=\langle {\color{red}v_1+\omega v_3+\omega^2 v_5}\rangle $$
   である。