漸化式の話メモ

556

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

こんにちは、itouです。
注：以下の内容は数値計算で得られた結果をもとにしています。厳密な証明はしていません。

唐突な導入

$f, g, h$ を多項式として、
$\begin{matrix} (1.0) & f (n) a_{n + 1} = g (n) a_{n} + h (n) a_{n - 1} \end{matrix}$ という漸化式を考えます。
この漸化式を満たす一般項のもつ性質について解説します。

直交性

$1.0$ の解は直交性をもつことがあります。

ヤコビ多項式
この式をヤコビ多項式といい、次の漸化式を満たします。
漸化式
~~TEX打ちめんどくさかった~~
ヤコビ多項式は直交性をもつことが知られています。
ファヴァールの定理というものがあり、 $1.0$ の解はパラメータｘを導入すると直交多項式になるそうです（私はあんまり理解してないですが）

リーマンゼータ関数との関係

$f (n) = (n + 1)^{r}, h (n) = - c n^{r}$ (cは定数)のとき、解はリーマンゼータ関数と密接なかかわりをもちます。
次のように同じ漸化式を２つ用意します。
$(n + 1)^{r} a_{n + 1} = g (n) a_{n} - c n^{r} a_{n - 1}$
$(n + 1)^{r} a_{n + 1}^{'} = g (n) a_{n}^{'} - c n^{r} a_{n - 1}^{'}$
ただし、 $a_{n}, a_{n}^{'}$ は初期条件が異なる、違う関数です。
それぞれに $a_{n}^{'}, a_{n}$ をかけて辺辺引くと、
$(n + 1)^{r} (a_{n + 1} a_{n}^{'} - a_{n + 1}^{'} a_{n}) = c n^{r} (a_{n} a_{n - 1}^{'} - a_{n}^{'} a_{n - 1})$
$(n + 1)^{r} (a_{n + 1} a_{n}^{'} - a_{n + 1}^{'} a_{n}) = c^{n} (a_{1} a_{0}^{'} - a_{1}^{'} a_{0})$ より、
$\sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n + 1} a_{n}^{'} - a_{n + 1}^{'} a_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c^{n - 1} (a_{1} a_{0}^{'} - a_{1}^{'} a_{0})}{n^{r}}$

$c = 1$ のとき、右辺はリーマンゼータ値そのものですね。
例えばアペリーの数列 $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} {(\binom{n + k}{k})}^{2}$ は $(n + 1)^{3} a_{n + 1} = (34 n^{3} + 51 n^{2} + 27 n + 5) a_{n} - n^{3} a_{n - 1}$ を満たします。

私が見つけた例

上のように $1.0$ は良い性質を持っていますし、この記事のように積分ともかかわりがあったりします。いろいろと面白い性質をもっているので、一般的に解きたいのですが、力不足で全然解法がわからないです……なので解になりそうな関数をもってきて、その漸化式を導く、という方法で漸化式と解のセットの例をつくりました。

1. $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n - 2}{k}) {(\binom{n}{k})}^{2}$ は $(n + 1)^{2} (3 n^{2} - n - 6) a_{n + 1} = n (n + 1) (21 n^{2} - 7 n - 10) a_{n} + 8 n (n - 2) (3 n^{2} + 5 n - 4) a_{n - 1}$ を満たす。

2. $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n - 3}{k}) {(\binom{n}{k})}^{2}$ は $(n + 1)^{2} (2 n^{2} - 5 n - 2) a_{n + 1} = (14 n^{4} - 21 n^{3} - 8 n^{2} + 5 n + 2) a_{n} + 8 n (n - 2) (2 n^{2} - n - 5) a_{n - 1}$ を満たす。

3. $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{2 k}{k})}^{3}$ は $(n + 1)^{3} a_{n + 1} = (65 n^{3} + 99 n^{2} + 51 n + 9) a_{n} - 8 (2 n + 1)^{3} a_{n - 1}$ を満たす。

4. $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{2 k}{k})}^{6}$ は $(n + 1)^{6} a_{n + 1} = (17 n^{2} + 18 n + 5) (241 n^{4} + 468 n^{3} + 338 n^{2} + 108 n + 13) a_{n} - 64 (2 n + 1)^{6} a_{n - 1}$ を満たす。

5. $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n + k}{k})}^{2}$ は $2 (n + 1)^{2} (2 n + 3) (21 n + 8) a_{n + 1} = (1365 n^{4} + 3943 n^{3} + 3879 n^{2} + 1605 n + 240) a_{n} - 4 n (2 n + 1)^{2} (21 n + 29) a_{n - 1}$ を満たす。

6. $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{3 k}{k}) {(\binom{2 k}{k})}^{2}$ は $(n + 1)^{3} a_{n + 1} = (109 n^{3} + 55 n^{2} + 27 n + 13) a_{n} - 6 (3 n + 1) (3 n + 2) (2 n + 1) a_{n - 1}$ を満たす。

7. $a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{3 k}{k})}^{2}$ は $4 (2 n + 1)^{2} (n + 1)^{2} a_{n + 1} = (745 n^{4} + 1506 n^{3} + 1105 n^{2} + 348 n + 40) a_{n} - 9 (3 n + 1)^{2} (3 n + 2)^{2} a_{n - 1}$ を満たす。