rakki杯誘導＆解答(P9〜P12)

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

こんにちは！rakkiです！今回は先日開催した自作コンテスト、rakki杯について、ヒントや誘導公開タイムの後編です！（~~厳密に解説書くの面倒くさい~~）
もしおかしな点や、これ解きたいけど誘導が足りないよ！みたいなことがあれば、Xでご気軽にDMしてください！
また、解いたから採点してー！！！ってときもDMくれたら採点するかもなので気軽にどうぞ！
問題本文はこちら、まだ解いてない方はぜひ！！

前編
 中編

本ページの使い方

・解けなかった問題や想定解がなにか気になる問題について、誘導、ヒントを見よう！
・★★★を開ける→モチベは伝えた。小問は自力で見つけてね！！
・★★、★★★を開ける→誘導に乗れれば解きやすくなってるはず。
・★、★★、★★★を開ける→本人はこれくらい誘導すれば頑張れば自力で解けるかなーなどと無責任に考えている。解けなかったらDMで文句を言いましょう()特にここではかなり雑になっています。
~~どうせこんなコンテストの問題を取っておいても後に解き直す機会ないから、~~
ぜひ誘導CAして、（rakkiにとっての）300,400,500〜あたりの問題も、ある程度ヒント、誘導つけば解けるぞー！！！ってなってください()

rakki杯P9

★★★

よつばくんが勝つためにはできる限り操作Bをし続けたい…。どうすれば操作Bを使い続けられる…？

★★

$(1)$ 小さい数の方が操作Bを用いて出しにくいことに留意して、1ターン目で1を出すことで、任意のみつばくんのカードの並びに対して、以後操作Bを用い続けられることを示せ。

★

$(1.1)$1ターン目に1を出して以降、(相手がこれまでに出したいずれかの数字+1)で表される数のうち、自分の持っている最小のものが操作Bで出せることを示せ。

作者コメント・解説

圧倒的問題児、元P4のP9です。難易度判定がかなりムズいけど、議論もごちゃごちゃするし、恐らくそこまで簡単ではない。
落ち着いて自分、相手の最善手を考えまくる問題で、感覚的にBを出しまくりたいな…→こうすればずっと出せるんじゃね!?(＝誘導$(1.1)$)で解けます。
別解（tomorrunさん）として、よつばくんの手札を1,2,...,10の順で固定する、という作戦もあります。（なるべく出しにくいやつを先に処理しようのノリ）
これで相手の札に応じて場の最小の数が自身が出した数になるように操作A,Bを組み合わせて調整します。すると、自分が出せなくなってAを使ってもみつばくんも1,2,...,10でない限りは後で小さい数を出さなきゃになるので、このタイミングで結局みつばくんがAをしなきゃならないので勝敗は変化しない、という考え方です。
あれこれ考える状況の自由度がすごい一問。

rakki杯P10

★★★

うまく数え上げるには…、発想を転換させて計算できるようにできたら気合で計算しよう！
分数の形を得られても油断しないで！既約にしてそれぞれのmodを考えよう！

★★

以後左下の点を$(0,0)$、右上の点を$(19,19)$として、座標平面上で考える。
$(1)$右端、上端以外の点で進行不可になるような盤面、点、その点までの道のりの組み合わせの総数を求めよ。
$(2)$右上の点を除く右端、上端の点で進行不可になるような盤面、点、その点までの道のりの組みあわせの総数を求めよ。
$(4)\displaystyle 18!\sum_{i=1}^{18}\frac{1}{i} $が19の倍数であることを示せ。

★

$(1.1)$点$(m,n)m,n \in \mathbb{Z} ,0\leq　m,n\leq 18$で進行不可になるような盤面、その点までの道のり、の組の数をm,nを用いて表せ。
$(1.2)\displaystyle \sum_{k=r}^{n} {}_{k}\mathrm{C}_{r} = {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$を示せ。ただし、パスカルの三角形の性質を用いて良い。
$(2.1)$点$(19,m)m \in \mathbb{Z},0 \leq m \leq 18$で進行不可になり、その点までの道のりが与えられたとき、それぞれに対し考えられる盤面の総数をmを用いて表せ。
(3) ${}_{10} \mathrm{ C }_5 \pmod{5} $を、${}_{10} \mathrm{ C }_5=x$と置いて、各辺を$(4!)^2$倍し、$(4!)^2x\equiv2・\frac{9!}{5}$を用いて解け。
(4.1) $ax \equiv 1$ を便宜上$\frac{1}{a}\equiv x$と表すことにする。
$a ,a=1,2,...,18$について、$\frac{1}{a} \pmod{19}$が互いに相異なることを示せ。

作者コメント・解説

計算量が本当に多く、計算ミス回避困難なのに、既約にせよとかいうトラップもある凶悪なクソ問。
この問題によく出てくる$(1.2)$のような形の式をホッケースティック恒等式と呼びます。パスカルの三角形の性質から今回のような二項係数のシグマを外せるのは覚えておくのが良いと思います。割と頻出です。
そういう意味ではホッケースティック恒等式の練習問題とも捉えられる()
また、分数の形の合同式も非常に有用です。(4)のように、便宜上分数の合同式も許容することで、一気に計算が楽になります。分母分子が法となっている数と互いに素でない数で約分できるときは処理に注意しましょう。
合同式では$pm\equiv pn \pmod{pk}\Longleftrightarrow m\equiv n\pmod{k})$も有用なので特に分数合同式ではここも意識して嘘を吐かないようにチェックです（ここに注意できるようになればいちいち分母を外さずに分子分母それぞれに合同式のような処理ができて楽です）。
どうすれば楽かな…と考えるのがコツだけど、3個の要素（道のり、止まる点、盤面）があるなかで主客転倒するのも意外と難所かも。

rakki杯P11

★★★

少しずつ情報を処理しよう。ある場所に気づければ割と進む…！
ゴールに行くにはなんの長さが必要…？どこの角度が欲しい…？
気合で三角比を求めに行こう！！

★★

$(1)ω$の中心を$O$とする。$F,B,O,M$が同一円周上にあることを示せ。
$(2)∠DBC$を求めよ。
$(3)∠BEH=θ$とおく。正弦定理を用いて$θ$を求めよ。

★

$(1.1)ω$の中心$O$と$M$がBCを軸に対称な位置にあることを示せ。
(2.1) 円$FBOM$の中心を$P$とすると、$P$が$BC$上にあることを示し、$ ∠MPC$=$30°$を示せ。
$(3.1)∠BHC=120-θ$を示せ。
$(3.2)$円$BEC$と$BD$の交点をQとする。$△BHF,△BQE$についての正弦定理から、$θ$に関する条件を求め、それを満たすθをひとつ求めよ。$0°<θ<120°$での$θ$が一意に定まることを示せ。
$(4)HD$の長さを求めよ。
$(5)HX・HY,DY・DX$を求めよ。

作者コメント・解説

幾何強に破壊されてはいるものの（ありがとうございます）個人的にはこのセットだと最強＆500↑のポテンシャルがある問題だと思ってます。
情報がごちゃごちゃと入り乱れるなかで初手の$∠DBC$もなかなかに厳しいし、その後の正弦定理から無理やり$θ$を求める流れもなかなか困難。
最後の方べきからの連立もパッと見えるというほどでもないという、割と凶悪な3段が詰め込まれています。
モチベは…、ゴールとスタートを意識して全力で角度追跡して、長さが等しいという条件を無理やり正弦に持っていく！といったところでしょうか…（かなり一般論だけど）
難易度的な意味では自信作です。

rakki杯P12

改題　$P(n)\geq\frac{13}{6}$を示せ。（恐らく難化します）

★★★

nが小さい場合から実験していこう。
何を使うのがよりお得か、を数値で見える化しよう。

★★

$(1)$実験などを駆使して、任意のnに対してコストが$\frac{5n}{2}$未満となるようなマスの埋め方を与えよ。
$(2)$ ある形のブロックを新しく追加するときにかかる、そのブロック中の各マスの平均コストを「そのブロックの重さ」とする。nが6の倍数のとき、「そのブロックの重さ」が1/2n未満のもののみを追加して置ける時、置くことができるブロックの個数は最大で何個か。nを用いて表せ。

★

$(3)(2)$でのブロックをすべて用いたとき、残りのマスを埋めるときにかかるコストは1マスあたり少なくとも$1/2n$かかる。このことを利用して、$P(n)$の下限を求めよ。

作者コメント・解説

適当に条件を作ってP(n)の一般項を求めたかったけど求められず、泣く泣く頑張って上下評価した問題。ある程度コスパが良いブロックを先に詰めて、後は実際よりもコスパが良いブロックで埋める。それでも$\frac{25n}{12}$を超えたら示せたも同然。当時P11が未完成というのもあり、一応P12においたけど比較的自然な考察で解けるので、ここの2個は逆でも良かったかなと思ってたりします。（結果的に幾何強によりCA者数を見るとこれでOKでしたが）
構成はちょっとずつ改善しながら頑張って実験する！というのがいいのかな、やはり実験は正義！
さて、参加者の別解こと改題の件ですが、

別解解答（araroさん、tomorrunさんより）

コストを$S$、kマスのブロックの枚数を$x_k$としてあげると、$\displaystyle S=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (x_k+\frac{1}{2})^2 - \frac{n}{8}, \sum_{k=1}^{n} kx_k=n^2$
これらの式はそれぞれ与えられた式を平方完成したり、マス目の数を考えたりして得られますが、これを意識して$(2S+\frac{n}{4})・(\sum_{k=1}^{n}k^2)$をコーシー・シュワルツの不等式で下から評価すると解けるらしいです。すごい。

こういうのが見えるようになりたいなあ…。

以上でP9〜P12の解説を終わります。
正直特に★についてはかなり雑にしてしまった自覚はあるので、こんなんじゃわかるか！って人はDMください…。

今回一気に12問のセットで作問してみて、全体難に寄せすぎ！みたいな反省点はあるものの、すごい楽しかったし、学生時代最後の全力をぶつけられたので良かったです！
普段そんなに作問しないので、今回のセットにより僕の過去の作問数が倍以上に跳ねて、AGNの作問最高難易度を更新しました！(なんなら300↑を過去に作ったの2問くらいだったからすごい量増えた。)
特にP2,3,5,6,9,11あたりは結構気に入ってるので、まだ見てない方がいればぜひ！
ここまで読んでいただきありがとうございました！！

投稿日：20時間前

更新日：20時間前