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競技数学解説

rakki杯誘導&感想！前編（P1〜P4）

競技数学,rakki杯,ヒント・解説
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こんにちは！rakkiです！今回は先日開催した自作コンテスト、rakki杯について、ヒントや誘導を公開しようと思います！（厳密に解説書くの面倒くさい）
もしおかしな点や、これ解きたいけど誘導が足りないよ！みたいなことがあれば、Xでご気軽にDMしてください！
また、解いたから採点してー！！！ってときもDMくれたら採点するかもなので気軽にどうぞ！
問題本文はこちら、まだ解いてない方はぜひ！！

中編
後編

本ページの使い方

・解けなかった問題や想定解がなにかきになる問題について、誘導、ヒントを見よう！
・★★★を開ける→モチベは伝えた。小問は自力で見つけてね！！
・★★、★★★を開ける→多分200くらい…？
・★、★★、★★★を開ける→本人はこれくらい誘導すれば頑張れば自力で解けるかなーなどと無責任に考えている。解けなかったらDMで文句を言いましょう()
どうせこんなコンテストの問題を取っておいても後に解き直す機会ないから、
ぜひ誘導CAして、（rakkiにとっての）300,400〜あたりの問題も、ある程度ヒント、誘導つけば解けるぞー！！！ってなってください()

rakki杯P1
★★★ 〇〇を解に持つ有理数係数の方程式を作れたらクリア！
〇〇が有理数係数多項式だったら…、→うまく〇〇の式にするための公式か何かなかった？
★★$ (2) \cos{(n+2)θ}$を$\cos{(n+1)θ}、\cos{nθ}、\cos{θ}$を用いて表せ。
$(4) \cos{ \frac{2π}{n} }$ が超越数でないことを示せ。
★$(1)$正n角形の一辺の長さを$\cos{ \frac{2π}{n} }$を用いて表せ。
$(2.1)\cos{(A+B)}+\cos{(A-B)}=2\cos{A}\cos{B}$を示せ。
$(3) \cos{nθ}$を$\cos{θ}$の有理数係数多項式で表せ。$(n \in \mathbb{N} )$
$(5)$ $\sqrt{a}$を解に持つ$x$の方程式を一つ作れ。
作者コメント・解説
この問題は、超越数の定義って意外と知らない説！というのと、nが定数だと超越数でないのに、nを限りなく大きくすると超越数2πに収束する、という面白さから（自明とか言わない！）出題し、悩んだ末にP1にやってきやがった問題児です。
この問題がコンテストのP1として悪問となる理由はなんといってもチェビシェフ多項式の存在です。
これを知ってる人にとってはかなりのイージー問題ですが、知らない人にとっては一気に厳しくなると思います（体感難易度がすごいぶれてるのはこのせい）。知らなかった、という方はぜひ調べてみてください（簡単にいうと誘導(2)）。
モチベについてもチェビシェフがあるから$cos{\frac{2π}{n}}$は超越数でない→余弦定理でcosを使おう、として解けてしまいます。
ちなみに$(2)$（その証明）については、cosの和積公式がcosしか出てこない→使えそう！というモチベのようです。
また、ド・モアブルの定理を用いて$\cos{nθ},\sin{nθ}$を求めようとすると、比較的自然にcosの方が都合が良さそうとわかると思います。
rakki杯P2
★★★ まずは角度追跡が定石。うまく情報を整理して単純化できないか…？
★★
(2)$∠XPQ=2∠XQP$を示せ。
(3)劣弧$XQ$の中点を$M$とすると、四角形$XPQM$が等脚台形になることを示せ。
★ (1) $PQ⊥XY$を示せ
(4) 余弦定理などを用いて$XP・MQ＋XM・PQ=XQ・PM$を示せ。
作者コメント・解説 解説書いてたら今更簡単な解き方見つかって急遽体感難易度ダウン&コンテスト最弱問題に…。角度追跡って大事だね(もとの想定解だと見えにくい補助線やら等角共役やらやってたから300行くと思ったのに…)
僕が幾何を解く時の意識は要所要所で不要な情報を切り捨てて、図形が一意に保たれるような情報だけ残して、議論することです。視界が開けて議論しやすくなります！
（切り捨てすぎると敗北するし、僕が基本500↑解けないのには注意）
だからこの問題だと、角度追跡を徹底、(2)が示された瞬間、三角形XPQが他の情報なしに一意なので、そこしか見ない！。
また、僕のおすすめテクですが、角度が2:1→大きい角の二等分線と外接円の交点をとる！（=この問題のM）。これをすると、3辺の長さが等しい等脚台形ができます（円周角などで示される）。等脚台形の4点→共円だから、トレミーの定理（誘導(4)）で、簡単に2辺から残り1辺の長さを求められます！もちろん角の二等分線定理&スチュワートでも良いですが…。
また少しズレますが、択として図形問題での個人的超有用定理はスチュワートの定理です！これは5つの長さのうち、4つわかれば一つは自動でわかる、というのが大きすぎる！一気に見通しや力技が容易になるのでcosを比べれば残り1つの長さがわかる、というのは覚えときましょう！
ところで、座標とベクトルでもこの問題だと比較的あっさり解けたりもします。初等幾何の方が好きな身としてはちょっと悔しい()
rakki杯P3
★★★ 平方数、という条件を使いこなせ！
★★ (1) $m \in \mathbb{N}$ について、$ gcd(3^m+1,3^m-1)$を求めよ。
★ (2)$3^m+1,3^m-1$の奇数の素因数がそれぞれ偶数個であることを示せ。
(3)$n \in \mathbb{N} $について、$n^2 \equiv 0,1\pmod{3} $を示せ。
作者コメント・解説 P10の数値設定で悩んでいるときにぱっと生えた問題。解いてもらったら分かる通り、かなりの一発ゲーです()
もともとは$n^2=1+3+...+3^m$で出題しようと思っていたのですが、解けずに断念…。mが偶数のみになってしまいました（これを解くなら大学数学が必要らしい）
これを解くうえのポイントは（未知数などの積）＝（定数など）の形に持っていき、より細かい情報を得る、ということでした。
特に右辺が定数、素数のn乗、などのときは大活躍の変形ですが、この場合はほぼ共通素因数がないことから、2乗を2個得られます。
意外とこういうとき、因数分解→gcdは有用らしいので意識するといいのかも…？
rakki杯P4
★★★ ごちゃごちゃ大きくなられるとわかんなくなるけど、特定の方向に伸ばすだけならnが大きくなったときの形もわかるんじゃない…？どんな形になりそうだろう…？
★★ (1)$A_3$を図示せよ。
(2) 下図は$A_2$（青線内の図形）に各辺の延長線を加えたものである。
図中の桃色の4点が共線であることを示せ。
!FORMULA[29][35276052][0] $A_2$
★(2-hint)特に良い正五角形それぞれに注意して長さ追跡、角度追跡をしていこう。
(3)正五角形$ABCDE$について、$AC $と$BE $の交点を$X$と置く。$XA=x$と置いて$x$の値を求めよ。また、それを利用して$\sin{36°}$の値を求めよ。
作者コメント・解説実はこの問題は構想は3,4ヶ月前からあって、ずっと温めてきた問題です。
競技数学としても受験数学としてもめちゃくちゃ癖が強い…（温めてきたせいで出さないという選択肢を失っていた）
方針をミスると一気に沼る一問だったかと思います。
方針としてはまず、きれいな図形なので、対称性に注意すれば見通しが良くなります！そして、★★の図のように、辺を延長した図形を丁寧に書く！（どうせその範囲は十分大きな$n$のとき、$A_n$内）。そしたら共線が見えてきて、解に予想がつくのではないでしょうか…。
詰まったら実験して特性を掴む！というのはやっぱり大事。
何気にこうやって繰り返すと正5角形に収束すること、意外と非自明で面白い()
!FORMULA[39][35276176][0]の各辺を延長した画像 $A_6$の各辺を延長した画像

ここまで読んでいただきありがとうございました！
中編・後編もよければぜひ！
中編

投稿日：2日前
更新日：21時間前
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