Chuによるbalanced 4F3の変換公式
今回は以下の結果を示す.
\begin{align} \F43{-n,a-c+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{1+a-e,\frac e2,\frac{e+1}2}1&=\frac{(1+a-c-e,e-c)_n}{(1+a-e,e)_n}\F32{-n,a-c+n,c}{c+e-a-n,e+n}1 \end{align}
\begin{align}
&\F43{-n,a-c+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{1+a-e,\frac e2,\frac{e+1}2}1\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a-c+n)_k}{(1,1+a-e)_k}\frac{(c)_{2k}}{(e)_{2k}}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a-c+n,c)_k}{(1,1+a-e,e)_k}\frac{(c+k)_{k}}{(e+k)_{k}}\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a-c+n,c)_k}{(1,1+a-e,e)_k}\sum_{j=0}^k\frac{(-k,e-c)_j}{(1,e+k)_j}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^j(e-c)_j}{j!}\sum_{k=j}^n\frac{(-n,a-c+n,c)_k}{(k-j)!(e)_{k+j}(1+a-e)_k}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^j(-n,a-c+n,c,e-c)_j}{j!(1+a-e)_j(e)_{2j}}\F32{j-n,a-c+n+j,c+j}{e+2j,1+a-e+j}1
\end{align}
ここで,
Saalschützの和公式
より,
\begin{align}
\F32{j-n,a-c+n+j,c+j}{e+2j,1+a-e+j}1&=\frac{(e-a+c-n+j,e-c+j)_{n-j}}{(e+2j,e-a-n)_{n-j}}\\
&=\frac{(1+a-c-e,e-c+j)_{n-j}}{(e+2j,1+a-e+j)_{n-j}}
\end{align}
であるから, これを代入すれば,
\begin{align}
&\F43{-n,a-c+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{1+a-e,\frac e2,\frac{e+1}2}1\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^j(e-c)_j}{j!}\sum_{k=j}^n\frac{(-n,a-c+n,c)_k}{(k-j)!(e)_{k+j}(1+a-e)_k}\\
&=\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^j(-n,a-c+n,c,e-c)_j}{j!(1+a-e)_j(e)_{2j}}\frac{(1+a-c-e,e-c+j)_{n-j}}{(e+2j,1+a-e+j)_{n-j}}\\
&=\frac{(1+a-c-e,e-c)_n}{(1+a-e,e)_n}\sum_{j=0}^n\frac{(-n,a-c+n,c)_j}{j!(c+e-a-n,e+n)_j}
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
$a=c+e$とすると,
\begin{align}
\F43{-n,e+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{1+c,\frac e2,\frac{e+1}2}1&=\frac{(1,e-c)_n}{(1+c,e)_n}\F21{-n,c}{-n}1\\
&=\frac{(e-c)_n}{(e)_n}
\end{align}
を得る. これはBaileyによって1929年に示された公式である. 次に, $a\to c+e-1$を考えると,
\begin{align}
&\F43{-n,e-1+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{c,\frac e2,\frac{e+1}2}1\\
&=\lim_{a\to c+e-1}\frac{(1+a-c-e,e-c)_n}{(1+a-e,e)_n}\F32{-n,a-c+n,c}{c+e-a-n,e+n}1\\
&=\lim_{a\to c+e-1}\frac{(1+a-c-e,e-c)_n}{(1+a-e,e)_n}\frac{(-n,a-c+n,c)_n}{(1,c+e-a-n,e+n)_n}\\
&=\lim_{a\to c+e-1}\frac{(e-c,a-c+n,c)_n}{(1+a-e,e,e+n)_n}\\
&=\frac{(e-c,e+n-1)_n}{(e,e+n)_n}\\
&=\frac{e+n-1}{e+2n-1}\frac{(e-c)_n}{(e)_n}
\end{align}
これはCarlitzによって1963年に示された公式である.
