東大数理院試1995年度専門問4解答
東大数理の院試（1995年度専門問4）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
有限群$G$の体$K$上の群環$K[G]$について次の問に答えよ．
- $K[G]$の元$a$を
$$ a = \sum_{g \in G} a_g g \qquad (a_g \in K) $$
と表し，$K[G]$の部分集合$A$を
$$ A = \bigg\{ a \in K[G] \, ; \, \sum_{g \in G} a_g = 0 \bigg\} $$
と定義する．$A$は$K[G]$の両側イデアルであることを示せ．
(2)$K[G] = A \oplus B$なる$K[G]$の左イデアル$B$を全て求めよ．
(1)
任意の$a, b \in A$に対し
$$
a + b
= \sum_{g \in G} a_g g + \sum_{g \in G} b_g g
= \sum_{g \in G} (a_g + b_g)g, \qquad
\sum_{g \in G} (a_g + b_g) = 0
$$
より$a + b \in A.$また任意の$x \in G$に対し
$$
xa
= \sum_{g \in G} a_g xg
= \sum_{x^{-1} h \in G} a_{x^{-1}h} h, \qquad
\sum_{x^{-1}h \in G} a_{x^{-1}h}
= \sum_{g \in G} a_g
= 0
$$
だから$xa \in A.$よって任意の$x' \in K[G]$に対し$x'a \in A$となるから，$A$は$K[G]$の左イデアルである．右イデアルであることも同様．
(2)
$B$の生成元$\sum_{g \in G} a_g g$を任意に取ると，
$$
B \ni
\bigg( \sum_{h \in G} h \bigg) \bigg( \sum_{g \in G} a_g g \bigg)
= \sum_{g \in G} a_g \bigg( \sum_{h \in G} hg \bigg)
= \sum_{g \in G} a_g \bigg( \sum_{h \in G} h \bigg)
$$
である．ただし最後の等号は，$g \in G$を固定した時写像$G \to G, h \mapsto hg$が全単射であることによる．$A \oplus B = K[G]$より$\sum_{g \in G} a_g \not= 0$だから$\sum_{h \in G} h \in B.$よって$I := (\sum_{g \in G} g) \subset B$である．一方，任意に$x \in K[G]$を取ると
$$
x = \sum_{g \in G} x_g g
= \sum_{g \in G} \bigg( x_g - \frac{1}{|G|} \sum_{h \in G} x_h \bigg) g
+ \sum_{g \in G} \bigg( \frac{1}{|G|} \sum_{h \in G} x_h \bigg) g
\in A \oplus I
$$
だから$K[G] \subset A \oplus I.$従って
$$
A \oplus I
\subset A \oplus B
= K[G]
\subset A \oplus I
$$
なので，答えは
$$
B = I = \bigg( \sum_{g \in G} g \bigg)
$$
のみ．
