東大数理院試1995年度専門問4解答

東大数理の院試（1995年度専門問4）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理1995年専門問4）

有限群 $G$ の体 $K$ 上の群環 $K [G]$ について次の問に答えよ．

$K [G]$ の元 $a$ を
$a = \sum_{g \in G} a_{g} g (a_{g} \in K)$
と表し， $K [G]$ の部分集合 $A$ を
$A = {a \in K [G]; \sum_{g \in G} a_{g} = 0}$
と定義する． $A$ は $K [G]$ の両側イデアルであることを示せ．

(2) $K [G] = A \oplus B$ なる $K [G]$ の左イデアル $B$ を全て求めよ．

(1)
任意の $a, b \in A$ に対し
$a + b = \sum_{g \in G} a_{g} g + \sum_{g \in G} b_{g} g = \sum_{g \in G} (a_{g} + b_{g}) g, \sum_{g \in G} (a_{g} + b_{g}) = 0$
より $a + b \in A .$ また任意の $x \in G$ に対し
$x a = \sum_{g \in G} a_{g} x g = \sum_{x^{- 1} h \in G} a_{x^{- 1} h} h, \sum_{x^{- 1} h \in G} a_{x^{- 1} h} = \sum_{g \in G} a_{g} = 0$
だから $x a \in A .$ よって任意の $x^{'} \in K [G]$ に対し $x^{'} a \in A$ となるから， $A$ は $K [G]$ の左イデアルである．右イデアルであることも同様．
(2)
$B$ の生成元 $\sum_{g \in G} a_{g} g$ を任意に取ると，
$B ∋ (\sum_{h \in G} h) (\sum_{g \in G} a_{g} g) = \sum_{g \in G} a_{g} (\sum_{h \in G} h g) = \sum_{g \in G} a_{g} (\sum_{h \in G} h)$
である．ただし最後の等号は， $g \in G$ を固定した時写像 $G \to G, h \mapsto h g$ が全単射であることによる． $A \oplus B = K [G]$ より $\sum_{g \in G} a_{g} \neq 0$ だから $\sum_{h \in G} h \in B .$ よって $I := (\sum_{g \in G} g) \subset B$ である．一方，任意に $x \in K [G]$ を取ると
$x = \sum_{g \in G} x_{g} g = \sum_{g \in G} (x_{g} - \frac{1}{| G |} \sum_{h \in G} x_{h}) g + \sum_{g \in G} (\frac{1}{| G |} \sum_{h \in G} x_{h}) g \in A \oplus I$
だから $K [G] \subset A \oplus I .$ 従って
$A \oplus I \subset A \oplus B = K [G] \subset A \oplus I$
なので，答えは
$B = I = (\sum_{g \in G} g)$
のみ．

投稿日：2024年1月27日

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