ダイヤル式ロックの数理

自転車のツーロックしていますか？
盗難被害を防止するためには両輪に１つずつロックをかけるのがよいそう。
さて、そんな自転車のロックによく使われるダイヤル式ロック。
これはどれほどの防犯効果があるのだろうか。
最もよく使われているであろう４桁のもので考察してみる。

泥棒はどれくらい苦労するか

総数

総数？そんなの0~9の１桁の整数を４つ並べるんだから、
10×10×10×10=10000通りに決まっているではないか。
(あるいは0000～9999までの整数で10000通り)
確かにそうなんだが、今回は泥棒が開けようとするその労力を計りたい。

泥棒の困難度(Difficulty)

そこで、泥棒はダイヤルロックが開くようにチェーンを常に引っ張りながらダイヤルのナンバーを変えていくとして、泥棒の困難度$d$を以下のように定義する。

さて、この定義にしたがって、総数10000通りを試すことを考えると$d$の最小値$d_{min}$はいくつだろうか。
単純に考えるならば、0000→0001→…→0009→0010→…と１つずつ回して止めていけば、ダイヤルのナンバーが数字として１増えたとき、同時にdも１増えることがわかるので、この場合では最後にはd=9999となる。
※0009→0010と桁をまたぐときも、またぐ桁（この場合は一の位と百の位）をすべて選び一斉に１ずらして回せばよい。
これよりdを小さくすることは可能だろうか。

$d$の最小値

ダイヤルのナンバーを$n$としよう。
$n=xyzw$（$x,y,z,w$は１桁の整数）と表されるとき、
任意の１桁の整数$i$に対して
$x+i \equiv x', \space\space y+i \equiv y' \space\space z+i \equiv z' \space\space w+i \equiv w' \space \pmod{10} $
を満たす1桁の整数$x',y',z',w'$について
$n_i=x'y'z'w'$とする。
このとき、異なる９つのナンバーの組
$$N_n=N_{xyzw}:=\lbrace n=n_0,n_1,n_2,n_3,n_4,n_5,n_6,n_7,n_8,n_9 \rbrace $$
は、$d$の定義(ii)と、常にチェーンは開くように引っ張っているので「回しながらあるナンバーを経由すれば、そのナンバーは試したことにできる」ことより、「$n$から$n$へと４ダイヤルを１回転して、止める」という１回で試すことができる。よって、これらを同一視して得られる同値類$N_n$を考える。

例）
$N_{2024}=\lbrace 2024,3135,4246,5357,6468,7579,8680,9791,0802,1913 \rbrace=N_{0802}$
$N_{1729}=\lbrace 1729,2830,3941,4052,5163,6274,7385,8496,9507,0618 \rbrace=N_{0618}$

$N_n$の定義より、任意の0000から9999のナンバー$n$に対して、
$N_n=N_{0abc}$
が成り立つような１桁の整数$a,b,c$がただ１つ存在する。
よって、異なる$N_n$の個数は0から999までの整数の個数すなわち1000個に等しい。
この$n=0000$から$n=0999$まで１つずつ回して止めながら、1000個それぞれに「$n$から$n$へと４ダイヤルを１回転して、止める」という操作を施すことにすれば、$d$は999+1000=1999増えるのみで済む。
したがって、$d_{min}\leq1999$
これより$d$を小さくすることはできるだろうか。この先の議論は読者に任せることにする。

予想される批判

Ｑ.「困難度の定義がとても現実的ではない」
Ａ.その通りである。
Ｑ.「チェーンが開くように引っ張りながらダイヤルを変えるので困難度9999-1999=8000ぐらい増えるだろ」
Ａ.その通りである。
Ｑ.「そもそもブルートフォースで盗もうとする泥棒がどこにいるんや」
Ａ.その通りである。
などたくさん考えられるだろう。甘んじて受け入れる。

終わりに

今回はあまりに実用的ではないが、現実の問題を数理モデルに落とし込んで考えることは意外にも難しくないことも多い。
自分が今後取ろうとしている何気ない選択も、そのときの直観に任せるのではなく、数理的に考えてみてはいかがだろうか。
数学を学んだすべての人へ提案する。