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ダイヤル式ロックの数理

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自転車のツーロックしていますか?
盗難被害を防止するためには両輪に1つずつロックをかけるのがよいそう。
さて、そんな自転車のロックによく使われるダイヤル式ロック。
これはどれほどの防犯効果があるのだろうか。
最もよく使われているであろう4桁のもので考察してみる。

泥棒はどれくらい苦労するか

総数

総数?そんなの0~9の1桁の整数を4つ並べるんだから、
10×10×10×10=10000通りに決まっているではないか。
(あるいは0000~9999までの整数で10000通り)
確かにそうなんだが、今回は泥棒が開けようとするその労力を計りたい。

泥棒の困難度(Difficulty)

そこで、泥棒はダイヤルロックが開くようにチェーンを常に引っ張りながらダイヤルのナンバーを変えていくとして、泥棒の困難度dを以下のように定義する。

泥棒の困難度d
  1. 何もしないとき、d=0とする。
  2. 4つの内いくつかのダイヤルを選び、一斉に回して、回すのを止める毎dを1増やす。
  3. 回すダイヤルを選び直すとき、回すのを止める。
  4. 終了時には回すのを止める。

さて、この定義にしたがって、総数10000通りを試すことを考えるとdの最小値dminはいくつだろうか。
単純に考えるならば、0000→0001→…→0009→0010→…と1つずつ回して止めていけば、ダイヤルのナンバーが数字として1増えたとき、同時にdも1増えることがわかるので、この場合では最後にはd=9999となる。
※0009→0010と桁をまたぐときも、またぐ桁(この場合は一の位と百の位)をすべて選び一斉に1ずらして回せばよい。
これよりdを小さくすることは可能だろうか。

dの最小値

ダイヤルのナンバーをnとしよう。
n=xyzwx,y,z,wは1桁の整数)と表されるとき、
任意の1桁の整数iに対して
x+ix,  y+iy  z+iz  w+iw (mod10)
を満たす1桁の整数x,y,z,wについて
ni=xyzwとする。
このとき、異なる9つのナンバーの組
Nn=Nxyzw:={n=n0,n1,n2,n3,n4,n5,n6,n7,n8,n9}
は、dの定義(ii)と、常にチェーンは開くように引っ張っているので「回しながらあるナンバーを経由すれば、そのナンバーは試したことにできる」ことより、「nからnへと4ダイヤルを1回転して、止める」という1回で試すことができる。よって、これらを同一視して得られる同値類Nnを考える。

例)
N2024={2024,3135,4246,5357,6468,7579,8680,9791,0802,1913}=N0802
N1729={1729,2830,3941,4052,5163,6274,7385,8496,9507,0618}=N0618

Nnの定義より、任意の0000から9999のナンバーnに対して、
Nn=N0abc
が成り立つような1桁の整数a,b,cがただ1つ存在する。
よって、異なるNnの個数は0から999までの整数の個数すなわち1000個に等しい。
このn=0000からn=0999まで1つずつ回して止めながら、1000個それぞれに「nからnへと4ダイヤルを1回転して、止める」という操作を施すことにすれば、dは999+1000=1999増えるのみで済む。
したがって、dmin1999
これよりdを小さくすることはできるだろうか。この先の議論は読者に任せることにする。

予想される批判

Q.「困難度の定義がとても現実的ではない」
A.その通りである。
Q.「チェーンが開くように引っ張りながらダイヤルを変えるので困難度9999-1999=8000ぐらい増えるだろ」
A.その通りである。
Q.「そもそもブルートフォースで盗もうとする泥棒がどこにいるんや」
A.その通りである。
などたくさん考えられるだろう。甘んじて受け入れる。

終わりに

今回はあまりに実用的ではないが、現実の問題を数理モデルに落とし込んで考えることは意外にも難しくないことも多い。
自分が今後取ろうとしている何気ない選択も、そのときの直観に任せるのではなく、数理的に考えてみてはいかがだろうか。
数学を学んだすべての人へ提案する。

投稿日:202464
更新日:202464
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nはあなたの好きな正の整数|Hokkaido.Univ(Math B1)

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