Problem 3-30. Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』

明らかに${\int }_{[0,1]}{\chi }_C(x,y)dx={\int }_{[0,1]}{\chi }_C(x,y)dy=0$である。
よって、$${\int }_{[0,1]}({\int }_{[0,1]}{\chi }_C(x,y)dx)dy={\int }_{[0,1]}({\int }_{[0,1]}{\chi }_C(x,y)dy)dx=0$$である
明らかに、任意の$[0,1]\times [0,1]$の分割$P$に対して$L(f,P)=0$であるから、$sup\{L(f,P)\}=0$である。
$C$の境界は$[0,1]\times [0,1]$であるから、任意の$[0,1]\times [0,1]$の分割$P$に対して$U(f,P)=1$である。
よって、$inf\{U(f,P)\}=1$である。
よって、${\int }_{[0,1]\times [0,1]}{\chi }_C$は存在しない。