Problem 3-30. Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』

明らかに$\int_{[0,1]}\chi_C(x,y)\,dx=\int_{[0,1]}\chi_C(x,y)\,dy=0$である。
よって、$$\int_{[0,1]}\left(\int_{[0,1]}\chi_C(x,y)\,dx\right)\,dy=\int_{[0,1]}\left(\int_{[0,1]}\chi_C(x,y)\,dy\right)\,dx=0$$である
明らかに、任意の$[0,1]\times [0,1]$の分割$P$に対して$L(f,P)=0$であるから、$\sup\{L(f,P)\}=0$である。
$C$の境界は$[0,1]\times [0,1]$であるから、任意の$[0,1]\times [0,1]$の分割$P$に対して$U(f,P)=1$である。
よって、$\inf\{U(f,P)\}=1$である。
よって、$\int_{[0,1]\times [0,1]}\chi_C$は存在しない。