ゴミを発掘してきた(級数)
こんちくは
こんにちは。今回は一般二項定理なるものを知って、それで遊んでる時に見つけた級数の紹介とそれの証明を追う記事です。同様の方法で多様な級数を見つけられると思います。
それではやっていきましょー
本題
見つけた級数がこちら
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}(4n+1)}=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{2\pi}} \end{align*}
$4$がたくさんですね。偶然ではないと思います。(多分)
さて、こいつを証明しましょう。ですが、その前に一般二項定理を紹介しておきます。
$|z|\le1,z\in\mathbb{C},\alpha\in\mathbb{C}$に対して、
\begin{align*}
(1-z)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\alpha)_{n}}{n!}z^n
\end{align*}
これの証明は知りませんが、おそらくテイラー展開です。
さて、これを使って級数を証明します。
次の定積分を考える。
\begin{align*}
I=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}dx
\end{align*}
これに対して
\begin{align*}
x^4=u
\end{align*}
と置くと
\begin{align*}
I&=\frac{1}{4}\int_{0}^{1}u^{-\frac{3}{4}}(1-u)^{-\frac{1}{2}}du
\end{align*}
ベータ関数を使うと
\begin{align*}
I&=\frac{1}{4}\frac{\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})}\\\
&=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{\sqrt{2}\pi}\\
&=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{2\pi}}
\end{align*}
一方、被積分関数を一般二項定理で変形する(今回は$z=x^4,\alpha=-\dfrac{1}{2}$)と、
\begin{align*}
I&=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_{n}}{n!}x^{4n}dx\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}n!^2}\int_{0}^{1}x^{4n}dx\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}(4n+1)}
\end{align*}
以上より、
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}{n}}{4^{n}(4n+1)}=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{2\pi}}
\end{align*}
おまけ
\begin{align*}
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^n}}dx
\end{align*}
も今回と同様の方法で計算することができます。実際にしてみると、
\begin{align*}
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\binom{2m}{m}}{4^{m}(mn+1)}=\frac{\sqrt{\pi}}{n}\frac{\Gamma(\frac{1}{n})}{\Gamma(\frac{1}{n}+\frac{1}{2})}
\end{align*}
がわかります。今回のやつの一般化というわけですね〜。
おわり
いかがだったでしょうか。この記事を書いているとき、クッソ眠かったのでもしかしたらくだらない間違えが紛れてるかもしれません。その時コメントでビシッとお願いします。ほな、さいなら！
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
