ζ(3)を連分数の和で表示する

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はじめに

どうも、色数です。
今回は特段難しいものは扱いません。
ただ、シグマという記号がいかに便利で和算がどれだけ美しいかがわかると思います。
僕もせきゅーんさんという方のツイートで気付かされました。
僕は今回初めて連分数を扱うので何か間違えているかもしれません。

美しい等式

$\begin{aligned} \frac{7}{8} ζ (3) - \frac{1}{3} \ln^{3} (2) = & \frac{1}{4} \frac{1}{2 - \frac{1}{2 + \frac{\frac{1}{6}}{2 - \frac{1}{3}}}} + \frac{1}{8} \frac{1}{2 - \frac{1}{2 + \frac{\frac{1}{3}}{2 - \frac{\frac{2}{3}}{2 + \frac{\frac{1}{10}}{2 - \frac{1}{4}}}}}} + \dots + \frac{1}{16} \frac{1}{2 - \frac{\frac{3}{2}}{2 + \frac{\frac{1}{10}}{2 - \frac{5}{12}}}} + \frac{1}{32} \frac{1}{2 - \frac{\frac{3}{2}}{2 + \frac{\frac{1}{3}}{2 - \frac{\frac{5}{6}}{2 + \frac{\frac{1}{10}}{2 - \frac{3}{10}}}}}} + \dots \\ + \frac{1}{32} \frac{1}{2 - \frac{1}{2 + \frac{\frac{1}{15}}{2 - \frac{3}{8}}}} + \frac{1}{64} \frac{1}{2 - \frac{1}{2 + \frac{\frac{1}{6}}{2 - \frac{\frac{3}{4}}{2 + \frac{\frac{1}{15}}{2 - \frac{2}{7}}}}}} + \dots + \frac{1}{64} \frac{1}{2 - \frac{\frac{4}{3}}{2 + \frac{\frac{1}{12}}{2 - \frac{9}{20}}}} + \frac{1}{128} \frac{1}{2 - \frac{\frac{4}{3}}{2 + \frac{\frac{1}{6}}{2 - \frac{\frac{9}{10}}{2 + \frac{\frac{1}{15}}{2 - \frac{14}{54}}}}}} + \dots \\ + \frac{1}{144} \frac{1}{2 - \frac{1}{2 + \frac{\frac{1}{24}}{2 - \frac{2}{5}}}} + \frac{1}{288} \frac{1}{2 - \frac{1}{2 + \frac{\frac{1}{12}}{2 - \frac{\frac{4}{5}}{2 + \frac{\frac{1}{21}}{2 - \frac{5}{16}}}}}} + \dots + \frac{1}{288} \frac{1}{2 - \frac{\frac{5}{4}}{2 + \frac{\frac{1}{28}}{2 - \frac{7}{15}}}} + \frac{1}{576} \frac{1}{2 - \frac{\frac{5}{4}}{2 + \frac{\frac{1}{14}}{2 - \frac{\frac{14}{15}}{2 + \frac{\frac{1}{21}}{2 - \frac{5}{14}}}}}} + \dots \\ ⋮ \end{aligned}$

どう？シグマを使わないと意味不明でしょ？
規則性が見えにくいし、ダミー変数が3つだと書き下すのも大変です。
とりあえず導出の過程を記します。(間違えていたらコメントで教えてください)

導出

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\ln x \ln (1 - x)}{x} d x = \frac{7}{8} ζ (3) - \frac{1}{3} \ln {(2)}^{3}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\ln x \ln (1 - x)}{x} d x & = [- \ln x {Li}_{2} (x)]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{{Li}_{2} (x)}{x} d x \\ = - \ln (\frac{1}{2}) (\frac{π^{2}}{12} - \frac{\ln {(2)}^{2}}{2}) + {Li}_{3} (\frac{1}{2}) \\ = - \frac{1}{3} \ln {(2)}^{3} + \frac{7}{8} ζ (3) \end{aligned}$

$B_{z} (a, b) = \frac{z^{a} (1 - z)^{b}}{a}_{2} F_{1} [\begin{matrix} a + b, 1 \\ a + 1 \end{matrix}; z]$

$\begin{aligned} B_{z} (a, b) & = \int_{0}^{z} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(1 - b)_{n}}{n!} \int_{0}^{z} t^{a + n - 1} d t \\ = z^{a} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(1 - b)_{n}}{(a + n) n!} z^{n} \\ = z^{a}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} a, 1 - b \\ a + 1 \end{array}; z] \\ = \frac{z^{a} (1 - z)^{b}}{a}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} a + b, 1 \\ a + 1 \end{array}; z] \end{aligned}$

$B_{z} (a, b) = \frac{z^{a} (1 - z)^{b}}{a} \frac{1}{1 - \frac{\frac{a + b}{a + 1} z}{1 + \frac{\frac{b - 1}{(a + 1) (a + 2)} z}{1 - \frac{\frac{(a + 1) (a + b + 1)}{(a + 2) (a + 3)} z}{1 + \frac{\frac{2 (b - 2)}{(a + 3) (a + 4)} z}{⋱}}}}}$

補題2とガウスの連分数より得る

$\begin{aligned} \frac{7}{8} ζ (3) - \frac{1}{3} \ln^{3} (2) & = \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < n_{2} \\ 0 < m \end{array}} \frac{1}{m n_{1}^{2} 2^{n_{2}}} \frac{1}{2 - \frac{\frac{n_{2}}{n_{1} + 1}}{2 + \frac{\frac{m}{(n_{1} + 1) (n_{1} + 2)}}{2 - \frac{\frac{(n_{1} + 1) (n_{2} + 2)}{(n_{1} + 2) (n_{1} + 3)}}{2 + \frac{\frac{2 (m - 1)}{(n_{1} + 3) (n_{1} + 4)}}{2 - \frac{\frac{(n_{1} + 2) (n_{2} + 3)}{(n_{1} + 4) (n_{1} + 5)}}{2 + \frac{\frac{3 (m - 2)}{(n_{1} + 5) (n_{1} + 6)}}{2 - ⋱}}}}}}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{7}{8} ζ (3) - \frac{1}{3} \ln {(2)}^{3} & = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\ln x \ln (1 - x)}{x} d x \\ = \sum_{n, m > 0} \frac{1}{n m} \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - x)^{m} x^{n - 1} d x \\ = \sum_{n, m > 0} \frac{B_{\frac{1}{2}} (n, m + 1)}{n m} \\ = \sum_{\begin{array}{c} 0 < n_{1} < n_{2} \\ 0 < m \end{array}} \frac{1}{2^{n_{2}} m n_{1}^{2}} \frac{1}{2 - \frac{\frac{n_{2}}{n_{1} + 1}}{2 + \frac{\frac{m}{(n_{1} + 1) (n_{1} + 2)}}{2 - \frac{\frac{(n_{1} + 1) (n_{2} + 2)}{(n_{1} + 2) (n_{1} + 3)}}{2 + \frac{\frac{2 (m - 1)}{(n_{1} + 3) (n_{1} + 4)}}{2 - \frac{\frac{(n_{1} + 2) (n_{2} + 3)}{(n_{1} + 4) (n_{1} + 5)}}{2 + \frac{\frac{3 (m - 2)}{(n_{1} + 5) (n_{1} + 6)}}{2 - ⋱}}}}}}} \end{aligned}$