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大学数学基礎解説
余弦積分で積分を解く
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$$\newcommand{di}[0]{\displaystyle}
\newcommand{G}[0]{\Gamma}
\newcommand{g}[0]{\gamma}
\newcommand{ip}[0]{\varepsilon}
$$
余弦積分で積分を解く
どうも、らららです。
今回は余弦積分を使って積分を解いていきます。
今回解く積分はこちら
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos ax-\cos bx}{x}dx=\log\frac{b}{a}$$
余弦積分を使って示していきます。
余弦積分
$$\mathrm{Ci} (x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos t}tdt$$
今回の主役です。
余弦積分のオーダー
$$\mathrm{Ci}(x)=\log x+\gamma+O(x^2)$$
証明は こちら にある級数表示を用いればよい。
あとは計算するだけです。
\begin{align} I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}dt \\&=\lim_{x\to0}\int_{x}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}dt \\&=\lim_{x\to0}\left(\int_{ax}^{\infty}\frac{\cos t}tdt-\int_{bt}^{\infty}\frac{\cos t}tdt\right) \\&=\lim_{x\to0}\big(\mathrm{Ci}(bx)-\mathrm{Ci}(ax)\big) \\&=\lim_{x\to0}\big(\log bx+\gamma+O\left(b^2x^2\right)-\log ax- \gamma-O\left(a^2x^2\right)\big) \\&=\log\frac{b}{a} \end{align}
ね、簡単でしょ？
おしまい！！
内容薄すぎいいい
投稿日：1月22日
更新日：1月22日
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