5

余弦積分で積分を解く

426
0
$$\newcommand{di}[0]{\displaystyle} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{ip}[0]{\varepsilon} $$

余弦積分で積分を解く

どうも、らららです。
今回は余弦積分を使って積分を解いていきます。

今回解く積分はこちら

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos ax-\cos bx}{x}dx=\log\frac{b}{a}$$

余弦積分を使って示していきます。

余弦積分

$$\mathrm{Ci} (x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos t}tdt$$

今回の主役です。

余弦積分のオーダー

$$\mathrm{Ci}(x)=\log x+\gamma+O(x^2)$$

証明は こちら にある級数表示を用いればよい。

あとは計算するだけです。

\begin{align} I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}dt \\&=\lim_{x\to0}\int_{x}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}dt \\&=\lim_{x\to0}\left(\int_{ax}^{\infty}\frac{\cos t}tdt-\int_{bt}^{\infty}\frac{\cos t}tdt\right) \\&=\lim_{x\to0}\big(\mathrm{Ci}(bx)-\mathrm{Ci}(ax)\big) \\&=\lim_{x\to0}\big(\log bx+\gamma+O\left(b^2x^2\right)-\log ax- \gamma-O\left(a^2x^2\right)\big) \\&=\log\frac{b}{a} \end{align}

ね、簡単でしょ?

おしまい!!
内容薄すぎいいい

投稿日:122
更新日:122

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

ららら
ららら
192
11481
適当に書きたいことを書きます。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中