大学数学基礎解説

余弦積分で積分を解く

積分,余弦積分

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余弦積分で積分を解く

どうも、らららです。
今回は余弦積分を使って積分を解いていきます。

今回解く積分はこちら

$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos a x - \cos b x}{x} d x = \log \frac{b}{a}$

余弦積分を使って示していきます。

余弦積分

$Ci (x) = - \int_{x}^{\infty} \frac{\cos t}{t} d t$

今回の主役です。

余弦積分のオーダー

$Ci (x) = \log x + γ + O (x^{2})$

証明はこちらにある級数表示を用いればよい。

あとは計算するだけです。

$\begin{aligned} I & = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos a t - \cos b t}{t} d t \\ = lim_{x \to 0} \int_{x}^{\infty} \frac{\cos a t - \cos b t}{t} d t \\ = lim_{x \to 0} (\int_{a x}^{\infty} \frac{\cos t}{t} d t - \int_{b t}^{\infty} \frac{\cos t}{t} d t) \\ = lim_{x \to 0} (Ci (b x) - Ci (a x)) \\ = lim_{x \to 0} (\log b x + γ + O (b^{2} x^{2}) - \log a x - γ - O (a^{2} x^{2})) \\ = \log \frac{b}{a} \end{aligned}$