大学数学基礎解説

余弦積分で積分を解く

積分,余弦積分

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余弦積分で積分を解く

どうも、らららです。
今回は余弦積分を使って積分を解いていきます。

今回解く積分はこちら

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos ax-\cos bx}{x}dx=\log\frac{b}{a}$$

余弦積分を使って示していきます。

余弦積分

$$\mathrm{Ci} (x)=-\int_{x}^{\infty}\frac{\cos t}tdt$$

今回の主役です。

余弦積分のオーダー

$$\mathrm{Ci}(x)=\log x+\gamma+O(x^2)$$

証明はこちらにある級数表示を用いればよい。

あとは計算するだけです。

\begin{align} I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}dt \\&=\lim_{x\to0}\int_{x}^{\infty}\frac{\cos at-\cos bt}{t}dt \\&=\lim_{x\to0}\left(\int_{ax}^{\infty}\frac{\cos t}tdt-\int_{bt}^{\infty}\frac{\cos t}tdt\right) \\&=\lim_{x\to0}\big(\mathrm{Ci}(bx)-\mathrm{Ci}(ax)\big) \\&=\lim_{x\to0}\big(\log bx+\gamma+O\left(b^2x^2\right)-\log ax- \gamma-O\left(a^2x^2\right)\big) \\&=\log\frac{b}{a} \end{align}

ね、簡単でしょ？

おしまい！！
内容薄すぎいいい

投稿日：1月22日

更新日：1月22日