正有理数の有限小数表示

$$ \text{LHS} = \sum_{k=2}^{m} \frac{n+k-1}{(n+k)!} = \sum_{k=2}^{m} \left(\frac{1}{(n+k-1)!} - \frac{1}{(n+k)!}\right) = \frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+m)!} < \frac{1}{(n+1)!}.$$

存在

まづ，（正実数$a$に対して）整数列$(a_{n})_{n}$であって
\begin{align} 0 &\leq a_{1};\\[3pt] 0 &\leq a_{n+1} < n+1,\ n\in\mathbb{Z}_{\geq 1};\\ 0 &\leq a-\underbrace{\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2!}+\cdots+\frac{a_{n}}{n!}\right)}_{\eqqcolon F_{n}} < \frac{1}{n!},\ n\in\mathbb{Z}_{\geq 1}; \end{align}
を満たすものが存在することを示す．

1. Base：$a_{1} \coloneqq \lfloor a \rfloor \in \mathbb{Z}$とおけば
   $$ 0\leq a_{1},\ 0 \leq a-F_{1} < 1$$
   が成り立つ．
2. Induction：$a_{n+1}\coloneqq \lfloor (n+1)!(a-F_{n}) \rfloor \in \mathbb{Z}$とおけば
   \begin{align} 0 \leq (n+1)!(a-F_{n}) < n+1 &\quad\leadsto\quad 0 \leq a_{n+1} < n+1;\\ a_{n+1} \leq (n+1)!(a-F_{n}) < a_{n+1}+1 &\quad\leadsto\quad 0 \leq a-F_{n+1} < \frac{1}{(n+1)!}; \end{align}
   が成り立つ．

さて，$a=p/q$とおくと
$$ 0 \leq q!(a-F_{q})<1,\ q!(a-F_{q})\in\mathbb{Z} \quad\leadsto\quad a=F_{q}$$
であり，$a>0$より$k\coloneqq\max\{n\in\{1,\ldots,q\} \mid a_{n}>0\}$が定まるので，
$$ a=F_{q} = a_{1} +\frac{a_{2}}{2!} +\cdots+ \frac{a_{k}}{k!}$$
が成り立つ．

一意性

$$ a_{1}+\frac{a_{2}}{2!}+\cdots+\frac{a_{k}}{k!} = b_{1}+\frac{b_{2}}{2!}+\cdots+\frac{b_{\ell}}{\ell!},\ 2\leq k\leq\ell$$
とする．まづ，
$$ a_{1}=b_{1},\ldots, a_{k}=b_{k}$$
が成り立つことを示す：

1. Base：ineqより
   \begin{align} |a_{1}-b_{1}| &\leq \frac{|a_{2}-b_{2}|}{2!}+\cdots+\frac{|a_{k}-b_{k}|}{k!} + \frac{b_{k+1}}{(k+1)!}+\cdots+\frac{b_{\ell}}{\ell!} \\ &\leq \frac{1}{2!} +\cdots+ \frac{k-1}{k!} + \frac{k}{(k+1)!} +\cdots+ \frac{\ell-1}{\ell!} \\ &< 1 \end{align}
   が成り立つので，$a_{1}-b_{1}\in\mathbb{Z}$と併せて$a_{1}=b_{1}$を得る．
2. Induction：$n< k,\ a_{1}=b_{1},\ldots,a_{n}=b_{n}$とする．このとき，ineqより
   \begin{align} \frac{|a_{n+1}-b_{n+1}|}{(n+1)!} &\leq \frac{|a_{n+2}-b_{n+2}|}{(n+2)!} +\cdots+ \frac{|a_{k}-b_{k}|}{k!}+\frac{b_{k+1}}{(k+1)!} +\cdots+ \frac{b_{\ell}}{\ell!}\\ &\leq \frac{n+1}{(n+2)!} +\cdots+ \frac{k-1}{k!} + \frac{k}{(k+1)!} +\cdots+ \frac{\ell-1}{\ell!} \\ &< \frac{1}{(n+1)!} \end{align}
   が成り立つ．よって
   $$ a_{n+1}-b_{n+1}\in\mathbb{Z},\ |a_{n+1}-b_{n+1}| < 1 \quad\leadsto\quad a_{n+1}=b_{n+1}$$
   を得る．

さて，もし$k < \ell$であったとすると
$$ 0 = \frac{b_{k+1}}{(k+1)!} +\cdots+ \frac{b_{\ell}}{\ell!} \geq \frac{b_{\ell}}{\ell!} > 0$$
となって不合理であるから，$k=\ell$である．

1. 置換$\sigma\in\mathfrak{S}_{n}$に対して
   $$ A_{i}\coloneqq \#\{j \in [n-i+1,n] \mid \sigma(n-i)>\sigma(j)\}$$
   とおくと，$0\leq A_{i} \leq i$であるから，非負整数
   $$ z(\sigma) \coloneqq A_{n-1}(n-1)! +\cdots+ A_{1}1! \in [0,n!-1]$$
   が（ただ一つ）定まる．
2. ここで，列$\sigma(1)\cdots\sigma(n)$の以下のような変形を考える：
   \begin{align} \sigma(1)\sigma(2)\cdots\sigma(n) &\quad\leadsto\quad \sigma(1)\sigma^{(1)}(2)\cdots\sigma^{(1)}(n),\ \sigma^{(1)}(i) \coloneqq \begin{dcases} \sigma(i)-1 & \sigma(1) < \sigma(i)\\ \sigma(i) & \sigma(1) > \sigma(i) \end{dcases} \\ \sigma(1)\sigma^{(1)}(2)\sigma^{(1)}(3)\cdots\sigma^{(1)}(n) & \quad\leadsto\quad \sigma(1)\sigma^{(1)}(2)\sigma^{(2)}(3)\cdots\sigma^{(2)}(n),\ \sigma^{(2)}(i) \coloneqq \begin{dcases} \sigma^{(1)}(i)-1 & \sigma^{(1)}(2) < \sigma^{(1)}(i)\\ \sigma^{(1)}(i) & \sigma^{(1)}(2) > \sigma^{(1)}(i) \end{dcases}\\ &\quad\vdots \\ \sigma(1)\sigma^{(1)}(2)\sigma^{(2)}(3)\cdots\sigma^{(n-2)}(n-1)\sigma^{(n-2)}(n) &\quad\leadsto\quad \sigma(1)\sigma^{(1)}(2)\sigma^{(2)}(3)\cdots\sigma^{(n-2)}(n-1)\sigma^{(n-1)}(n),\ \sigma^{(n-1)}(n) \coloneqq \begin{dcases} \sigma^{(n-2)}(n)-1 & \sigma^{(n-2)}(n-1) < \sigma^{(n-2)}(n) \\ \sigma^{(n-2)}(n) & \sigma^{(n-2)}(n-1) > \sigma^{(n-2)}(n) \end{dcases}. \end{align}
   明らかに
   $$ 1\leq\sigma^{(0)}(1)\coloneqq\sigma(1)\leq n,\ 1 \leq \sigma^{(i-1)}(i) \leq n-i+1$$
   であり，
   $$ A_{i}= (\sigma(n-i)-1)-\#\{j\in[1,n-i-1]\mid \sigma(j)<\sigma(n-i)\} = \sigma^{(n-i-1)}(n-i)-1$$
   が成り立つ．
3. 逆に，非負整数$a\in[0,n!-1]$に対して，これを
   $$ a = A_{n-1}(n-1)! +\cdots+ A_{1}1! + A_{0}0!,\ 0\leq A_{i} \leq i$$
   と（一意的に）表わして，列$A_{n-1} \cdots A_{1}A_{0}$の以下のような変形を考える：
   \begin{align} A_{n-1} \cdots A_{1}A_{0} &\quad\leadsto\quad A_{n-1}\cdots A^{(1)}_{1}A^{(1)}_{0};\ A^{(1)}_{1}\coloneqq A_{1},\ A^{(1)}_{0} \coloneqq \begin{dcases} 1 & A_{1}=0 \\ 0 & A_{1}=1 \end{dcases} \\ A_{n-1}\cdots A_{2}A^{(1)}_{1}A^{(1)}_{0} &\quad\leadsto\quad A_{n-1}\cdots A^{(2)}_{2}A^{(2)}_{1}A^{(2)}_{0};\ A^{(2)}_{2}\coloneqq A_{2},\ A^{(2)}_{i} \coloneqq \begin{dcases} A^{(1)}_{i}+1 & A_{2} \leq A^{(1)}_{i} \\ A^{(1)}_{i} & A_{2} > A^{(1)}_{i} \end{dcases} \\ &\quad\vdots \\ A_{n-1}A^{(n-2)}_{n-2}\cdots A^{(n-2)}_{0} &\quad\leadsto\quad A^{(n-1)}_{n-1}A^{(n-1)}_{n-2}\cdots A^{(n-1)}_{0};\ A^{(n-1)}_{n-1}\coloneqq A_{n-1},\ A^{(n-1)}_{i} \coloneqq \begin{dcases} A^{(n-2)}_{i}+1 & A_{n-1} \leq A^{(n-2)}_{i} \\ A^{(n-2)}_{i} & A_{n-1} > A^{(n-2)}_{i} \end{dcases}. \end{align}
   変形の各段階において
   $$ A^{(i)}_{i},\ldots, A^{(i)}_{0} \in [0,i]$$
   は相異なる（ことが帰納的にわかる）ので，置換$p(a)\in\mathfrak{S}_{n}$を
   $$ p(a) \coloneqq \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ A^{(n-1)}_{n-1}+1 & A^{(n-1)}_{n-2}+1 & \cdots & A^{(n-1)}_{0}+1 \end{pmatrix}$$
   で定めることができる．
4. 写像$z\colon\mathfrak{S}_{n}\to[0,n!-1],\ p\colon[0,n!-1]\to\mathfrak{S}_{n}$が順序を保つこと，および互いの逆写像であることは，[2], [3]から明らかであろう．