2変数関数の極限について
初めての記事なので内容体裁ともカスだと思われる。
最悪嘘言ってるかもしれん。
2変数関数の極限は大学１年生でよく扱われる以下のような問題がある。
$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{xy}は存在するか？ $$
存在しない。$k$を正の定数として$y=kx$とおいたときに$x \to 0$とすることを考える。すると
$$
\frac{x^2-y^2}{xy} = \frac{x^2-k^2x^2}{kx^2}
= \frac{1-k^2}{k}
$$
これは$x \to 0$とすると極限値が$k$に依存するので極限値は存在しない。
こんな感じで極限が存在しないことがある。
$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{y}を求めよ。 $$
以下のように解答してしまうのは誤りである。
$k>0$に対し$y=kx$とおいて$x \to 0$とすればよいw
このとき
$$
\frac{x^2 + y^2}{y} = \frac{x^2 + k^2x^2}{kx} \to 0~(x \to 0)
$$
よって極限値は存在して0w
この解答は誤りである。どのように$(0,0)$に近づいても極限値が0になることを示さなければならない。この解答では残念ながら$y=kx$という関係式を満たしながら原点に近づいたときに極限値が0であることを示しているに過ぎない。よくあるミスですな。
しかし極限値が存在しない場合は大体$y=kx$とおいたときに極限値が存在しない。なにか$y=kx$とおいて確認すればそれで十分なのでは？と感じてしまう。しかしそんなことはない。実際以下のように回答するのが正しい。
$(x,y) = (r \cos \theta , r \sin \theta)$とおくと
$$
\frac{x^2 + y^2}{y} = \frac{r}{\sin \theta}
$$
例えば$\theta = \pi$のときは$r \to 0$のとき$0$にいく。しかし$\theta = r$のときは$1$にいってしまう。極限値は存在しない。
細かい話はあるだろうが以下の予想の例を与えたことになる。
$$ \exists f(x,y) ~ s.t. ~ \forall k \in \mathbb{R}, [[y=kx \Rightarrow \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)~が存在]かつ[\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)は存在しない]] $$
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