大学数学基礎議論

2変数関数の極限について

解析

2981

初めての記事なので内容体裁ともカスだと思われる。
最悪嘘言ってるかもしれん。

2変数関数の極限は大学１年生でよく扱われる以下のような問題がある。

例題1

$lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} は存在するか？$

例題1 解答例

存在しない。 $k$ を正の定数として $y = k x$ とおいたときに $x \to 0$ とすることを考える。すると
$\frac{x^{2} - y^{2}}{x y} = \frac{x^{2} - k^{2} x^{2}}{k x^{2}} = \frac{1 - k^{2}}{k}$
これは $x \to 0$ とすると極限値が $k$ に依存するので極限値は存在しない。

こんな感じで極限が存在しないことがある。

例題2

$lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^{2} + y^{2}}{y} を求めよ。$

以下のように解答してしまうのは誤りである。

例題2 誤答

$k > 0$ に対し $y = k x$ とおいて $x \to 0$ とすればよいw
このとき
$\frac{x^{2} + y^{2}}{y} = \frac{x^{2} + k^{2} x^{2}}{k x} \to 0 (x \to 0)$
よって極限値は存在して0w

この解答は誤りである。どのように $(0, 0)$ に近づいても極限値が0になることを示さなければならない。この解答では残念ながら $y = k x$ という関係式を満たしながら原点に近づいたときに極限値が0であることを示しているに過ぎない。よくあるミスですな。

しかし極限値が存在しない場合は大体 $y = k x$ とおいたときに極限値が存在しない。なにか $y = k x$ とおいて確認すればそれで十分なのでは？と感じてしまう。しかしそんなことはない。実際以下のように回答するのが正しい。

例題2 解答例

$(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)$ とおくと
$\frac{x^{2} + y^{2}}{y} = \frac{r}{\sin θ}$
例えば $θ = π$ のときは $r \to 0$ のとき $0$ にいく。しかし $θ = r$ のときは $1$ にいってしまう。極限値は存在しない。

細かい話はあるだろうが以下の予想の例を与えたことになる。

$\exists f (x, y) s . t . \forall k \in R, [[y = k x \Rightarrow lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) が存在] かつ [lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) は存在しない]]$

投稿日：2023年6月24日

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投稿者

池田吏来

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