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2変数関数の極限について

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初めての記事なので内容体裁ともカスだと思われる。
最悪嘘言ってるかもしれん。

2変数関数の極限は大学1年生でよく扱われる以下のような問題がある。

例題1

$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{xy}は存在するか? $$

例題1 解答例

存在しない。$k$を正の定数として$y=kx$とおいたときに$x \to 0$とすることを考える。すると
$$ \frac{x^2-y^2}{xy} = \frac{x^2-k^2x^2}{kx^2} = \frac{1-k^2}{k} $$
これは$x \to 0$とすると極限値が$k$に依存するので極限値は存在しない。

こんな感じで極限が存在しないことがある。

例題2

$$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^2}{y}を求めよ。 $$

以下のように解答してしまうのは誤りである。

例題2 誤答

$k>0$に対し$y=kx$とおいて$x \to 0$とすればよいw
このとき
$$ \frac{x^2 + y^2}{y} = \frac{x^2 + k^2x^2}{kx} \to 0~(x \to 0) $$
よって極限値は存在して0w

この解答は誤りである。どのように$(0,0)$に近づいても極限値が0になることを示さなければならない。この解答では残念ながら$y=kx$という関係式を満たしながら原点に近づいたときに極限値が0であることを示しているに過ぎない。よくあるミスですな。

しかし極限値が存在しない場合は大体$y=kx$とおいたときに極限値が存在しない。なにか$y=kx$とおいて確認すればそれで十分なのでは?と感じてしまう。しかしそんなことはない。実際以下のように回答するのが正しい。

例題2 解答例

$(x,y) = (r \cos \theta , r \sin \theta)$とおくと
$$ \frac{x^2 + y^2}{y} = \frac{r}{\sin \theta} $$
例えば$\theta = \pi$のときは$r \to 0$のとき$0$にいく。しかし$\theta = r$のときは$1$にいってしまう。極限値は存在しない。

細かい話はあるだろうが以下の予想の例を与えたことになる。

$$ \exists f(x,y) ~ s.t. ~ \forall k \in \mathbb{R}, [[y=kx \Rightarrow \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)~が存在]かつ[\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)は存在しない]] $$

投稿日:2023624

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