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大学数学基礎解説
東大数理院試2019年度専門問2解答
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$$\newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{FF}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{Gal}[0]{\mathrm{Gal}}
\newcommand{IIm}[0]{\operatorname{Im}}
\newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}}
\newcommand{NN}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{PP}[0]{\mathbb{P}}
\newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{RR}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{RRe}[0]{\operatorname{Re}}
\newcommand{tr}[0]{\operatorname{tr}}
\newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}}
$$
東大数理の院試（2019年度専門問2）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
（東大数理2019年専門問2）
$a, b, c$を$1$以上の整数とする．このとき多項式$X^a + Y^b + Z^c \in \CC[X, Y, Z]$は既約であることを示せ．
$\CC[X, Y, Z] = \CC[Y, Z][X]$で$\CC[Y, Z]$は UFD だから，$\CC[Y, Z]$の素元$f$であって$Y^b + Z^c \in (f), Y^b + Z^c \not\in (f^2)$となるものが存在すれば，Eisenstein の既約判定法により$X^a + Y^b + Z^c$は既約となる．よって$f$の存在を示せば良い．
$Y^b + Z^c \in \CC[Y, Z] = \CC[Z][Y]$は$Y$についての次数が$b \geq 1$だから単元ではない．よってある素元$f$で割り切れる．今$f^2$で割り切れるとすると$Y$による偏微分$bY^{b - 1}$も$f$で割り切れるから，$(Y^b + Z^c) - \frac{Y}{b} \cdot bY^{b - 1} = Z^c$も$f$で割り切れる．これより$f = sZ^r \, (s \in \CC, r \leq c)$とおけるが，これは明らかに$Y^b + Z^c$を割らないから矛盾．従ってこの$f$が条件を満たすから示された．
投稿日：2月20日
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