東大数理院試2019年度専門問2解答

東大数理の院試（2019年度専門問2）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理2019年専門問2）

$a, b, c$ を $1$ 以上の整数とする．このとき多項式 $X^{a} + Y^{b} + Z^{c} \in C [X, Y, Z]$ は既約であることを示せ．

$C [X, Y, Z] = C [Y, Z] [X]$ で $C [Y, Z]$ は UFD だから， $C [Y, Z]$ の素元 $f$ であって $Y^{b} + Z^{c} \in (f), Y^{b} + Z^{c} \notin (f^{2})$ となるものが存在すれば，Eisenstein の既約判定法により $X^{a} + Y^{b} + Z^{c}$ は既約となる．よって $f$ の存在を示せば良い．

$Y^{b} + Z^{c} \in C [Y, Z] = C [Z] [Y]$ は $Y$ についての次数が $b \geq 1$ だから単元ではない．よってある素元 $f$ で割り切れる．今 $f^{2}$ で割り切れるとすると $Y$ による偏微分 $b Y^{b - 1}$ も $f$ で割り切れるから， $(Y^{b} + Z^{c}) - \frac{Y}{b} \cdot b Y^{b - 1} = Z^{c}$ も $f$ で割り切れる．これより $f = s Z^{r} (s \in C, r \leq c)$ とおけるが，これは明らかに $Y^{b} + Z^{c}$ を割らないから矛盾．従ってこの $f$ が条件を満たすから示された．

投稿日：2024年2月20日

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