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東大数理院試過去問解答例(2013B07)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2013B07の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2013B07

R3の相異なる平面P1,,P5が以下の条件を満たすように配置されているとする。
(i) 相異なる2つの平面の共通部分は直線である。
(ii) 相異なる3つの平面の共通部分は一点集合である。
(iii) 相異なる4つの平面の共通部分は空集合である。
ここでX:=i=15PiR3の部分空間として部分位相を入れる。
(1) XのEuler標数を求めよ。
(2) Xは単連結であることを示せ。
(3) 整係数ホモロジー群H(X,Z)を求めよ。

  1. まず平面Pi上に於いて他の平面との共通部分になっている直線が互いに平行でないように引かれている。よってこの直線の和集合をLiとすると、PiLi11個の連結成分からなる。よってX(i,jPiPj)上の連結成分の個数は55枚である。
    次に2つの平面の共通部分である直線は3枚の平面で交わっているから、PiPjから他の3枚の平面との共通部分を除いた集合は4本の連結成分からなる。よってi,jPiPj(i,j,kPiPjPk)の連結成分の個数は45C2=40本である。
    最後に3つの平面の共通部分であるような点の個数は5C3=10個である。
    以上からXのEuler標数は1040+55=25である。
  2. ここでX内の全ての閉曲線は少しずらすことでi,j,kPiPjPkを経由しないものにホモトープである。よってそのような閉曲線が可縮であることを示せば良い。ここで閉曲線Cに対してS(C):C(i,jPiPj)とおく。以下|S(C)|=nなる閉曲線Cをとる。今、この閉路が平面Piから境界Lijを越えてPjに侵入し、境界Ljkを経てPjにでていくような経路であったとする。それぞれの境界とこの閉路の交叉する点をAij及びAjkとする。このときAijからLijに沿ってPiPjPk上からLjkに沿ってAjkに至る経路Dを考え、CAijからAjkへの経路をDに置き換えた閉路Cを考える。次にC上のAijからわずかにPi寄りの点をBijPik上の点BikC上のAjkからわずかにPk寄りの点をBjkとし、線分BijBikBikBjkの和集合Dをとり、C上のPijを含む弧BijBjkDに置き換えたものをCとおく。CCはホモトープである。また構成から|S(C)|n1であるから、帰納法により任意の閉路は|S(C)|=0なるCにホモトープである。これは一平面上の閉路なので一点にホモトープであるから、これによりXの単連結性が従う。
  3. まず3についてはH(X,Z)=0である。次に(2)からH1(X,Z)=0である。次にXは連結であるからH0(X,Z)=Zである。次にEuler標数はi=0(1)irankHi(X,Z)で表されるから、H2(X,Z)Z-加群としてのランクは24である。またホモロジー群の定義及びXが平面の和集合であることからH2(X,Z)は自由Z-加群の部分加群であり、特にH2(X,Z)は捩れ部分を持たない。以上の議論から
    H(X,Z)={0(0,2)Z(=0)Z24(=2)
    である。
投稿日:20231020
更新日:2023127
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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