と展開することはできるか?
今だけの名称として,この展開を基底展開,係数
まず,
信号
ただし,
さらに,離散時間信号が作る関数空間に対して,次のように内積を定めよう.
離散時間信号
この定義が内積の公理を満たしているかどうかは今回議論しないが,あとで追記するかも.
離散信号
のように基底展開できることを仮定して,係数
基本的な考えとしては,"①基底信号の直交性を利用して,②両辺と成分との内積をとり,③各成分(各係数)を取り出す"という方針である.実際にやってみよう.
まずは,
ここで,式中の
となることがわかるだろうか.これにより,
よって,内積の値は,
つまり,
であることがわかった.
同様の計算により,基底係数
これを用いれば,基底展開に関する次の定義(予想->定義)を得る.
任意の離散時間信号
と展開することができる.この展開を基底展開という.ただし,
とし,この係数を基底係数という.
実際の例を見てみよう.
信号
を,基底信号
で基底展開せよ.ただし,
回答: まず,基底係数を求めると,
となるが,デルタ関数の性質により,
よって,基底係数は任意の