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大学数学基礎解説
文献あり

局所化と基礎的な定理について

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環の局所化と基本的な定理を述べる.証明は行間を埋めるように書いた.
以下環は可換環とし,10を含むとする.R×で環Rの可逆元全体とする.

積閉集合

Rの部分集合Sが積閉集合であるとは次の条件を満たすこととする.

  1. a,bSabS
  2. 1S,0S
局所化

Sを環Rの積閉集合とし,積集合R×Sに次のようにして同値関係を定める,
(r1,s1)(r2,s2)cS  s.t. (r1s2r2s1)c=0
このは実際に同値関係となり,それによる商集合(R×S)/を考え,同値類をr/sで表す.
演算を次のように定める,

  • (r1/s1)+(r2/s2):=(r1s2r2s1)/s1s2
  • (r1/s1)(r2/s2):=r1r2/s1s2
    この演算はwell-definedであり,0/1を零元,1/1を単位元とする可換環になる.
    この環のとこをRSによる局所化と呼び,S1Rと書く.

演算のwell-defined性を確かめるにはS1Rの元としてr1/s1=r1/s1, r2/s2=r2/s2をとり,(r1/s1)+(r2/s2)=(r1/s1)+(r2/s2)であることを確かめればよい.積も同様である.
次の定理は極大イデアルの存在性から導かれる.

Rを環,IRを環のイデアルとする.このときIを含むRの極大イデアルが存在する.

以下局所化の定理を確認していく.
Rを環,Sによる局所化をS1Rとする.準同型写像i:Rrr/1S1Rを考える.(iは一般には単射でない)

局所化の普遍性

RRを環,RSによる局所化をS1Rとする.f:RRは準同型写像で,任意の元sSに対してf(s)Rの可逆元に移されるものとする.このとき準同型写像g:S1RRで,f=giを満たすものが唯一存在する.
RifS1R!gR

もしそのようなgが存在するならば,g(r/s)=g((r/1)(s/1)1)=g(i(r))(g(i(s)))1=f(r)(f(s))1となることからgfによって一意的に存在する.
次に存在性について.g(r/s)=f(r)(f(s))1とすると,これはwell-definedな準同型写像である.なぜなら,r/s=r/sS1Rとすると,(rsrs)c=0となるcSが存在する.ゆえに(f(r)f(s)f(r)f(s))f(c)=0f(c)f(s)f(s)Rの可逆元なので,f(r)(f(s))1=f(r)(f(s))1
さらにg(i(r))=g(r/1)=f(r)(f(1))1=f(r)から可換性も成り立つ.

fRとしてS={fn}n0とすると,Sは積閉集合になる.このときS1RRfと書く.
Rpを素イデアルとすると,S=Rpは積閉集合になる.なのでRSによる局所化を考えることができ,それをRpと表してRpによる局所化と呼ぶ.
最後に局所化Rpが局所環であることを確かめる.

Rは局所環 非可逆元の全体RR×はイデアルをなす.

()
mRの唯一の極大イデアルとする.もしuR×umであるならmuu1=1となりR=mであるが,極大イデアルの定義に反する.したがって,RR×mである.一方aRR×が生成するイデアル(a)Rと等しくならないため,定理1からイデアル(a)は極大イデアルmに含まれる.すなわちamからRR×mが成り立つ.よってRR×はイデアルである.
()
RR×Rのイデアルとし,それをIと書くことにする.1IよりIRである.RJなる任意のイデアルJをとる.uR×が生成するイデアルは(u)=Rを満たすので,Juを含まない.よってI=RR×Jとなる.Jは任意にとっていたのでIは極大イデアルになり,もしI以外の極大イデアルIを持つなら上記の議論からIIとなるため極大イデアルはただ一つである.

pを環Rの素イデアルとすると,局所化Rpは局所環で唯一の極大イデアルはm={a/sap,sp}と書ける.

初めに{a/sap,sp}はイデアルである.次にRp×={a/sa,sR, a,sp}であることを示す.
Rpにおいてa/s(a,sRsp)が可逆元であったとする.b/tがその可逆元だとするとab/st=1となる.よってあるcRpが存在して(abst)c=0となる.pは素イデアルで,stc=abcpだから,ap.よってRp×{a/sa,sR, a,sp}.
逆にap,すなわちaRpならa/sの逆元はs/aRpであるためRp×{a/sa,sR, a,sp}となり等号が言えた.
{a/sa,sR, a,sp}={a/saR, sRp, ap}と書き替えてみると,RpRp×={a/sap,sp}=mとなることが分かる.さらに命題3とその証明()からmは極大イデアルであり,Rpは局所環である.

参考文献

[1]
森田 康夫, 代数概論, 数学選書, 裳華房, 2023, 79
投稿日:20241029
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「ツクツクボーシ、ツクツクボーシ」 ほら、カエルが鳴いてるよ 春の訪れを感じながら 落ち葉で黄色くなった道を歩いてく

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