局所化と基礎的な定理について

代数学,可換環,局所化

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環の局所化と基本的な定理を述べる．証明は行間を埋めるように書いた．
以下環は可換環とし， $1 \neq 0$ を含むとする． $R^{\times}$ で環 $R$ の可逆元全体とする．

積閉集合

環 $R$ の部分集合 $S$ が積閉集合であるとは次の条件を満たすこととする．

$a, b \in S ⟹ a b \in S$
$1 \in S, 0 \notin S$

局所化

$S$ を環 $R$ の積閉集合とし，積集合 $R \times S$ に次のようにして同値関係を定める，
$(r_{1}, s_{1}) \sim (r_{2}, s_{2}) ⟺ \exists c \in S s . t . (r_{1} s_{2} - r_{2} s_{1}) c = 0$
この $\sim$ は実際に同値関係となり，それによる商集合 $(R \times S) / \sim$ を考え，同値類を $r / s$ で表す．
演算を次のように定める，

$(r_{1} / s_{1}) + (r_{2} / s_{2}) := (r_{1} s_{2} - r_{2} s_{1}) / s_{1} s_{2}$
$(r_{1} / s_{1}) \cdot (r_{2} / s_{2}) := r_{1} r_{2} / s_{1} s_{2}$
この演算はwell-definedであり， $0 / 1$ を零元， $1 / 1$ を単位元とする可換環になる．
この環のとこを $R$ の $S$ による局所化と呼び， $S^{- 1} R$ と書く．

演算のwell-defined性を確かめるには $S^{- 1} R$ の元として $r_{1} / s_{1} = r_{1}^{'} / s_{1}^{'}, r_{2} / s_{2} = r_{2}^{'} / s_{2}^{'}$ をとり， $(r_{1} / s_{1}) + (r_{2} / s_{2}) = (r_{1}^{'} / s_{1}^{'}) + (r_{2}^{'} / s_{2}^{'})$ であることを確かめればよい．積も同様である．
次の定理は極大イデアルの存在性から導かれる．

$R$ を環， $I \neq R$ を環のイデアルとする．このとき $I$ を含む $R$ の極大イデアルが存在する．

以下局所化の定理を確認していく．
$R$ を環， $S$ による局所化を $S^{- 1} R$ とする．準同型写像 $i : R ∋ r \to r / 1 \in S^{- 1} R$ を考える．( $i$ は一般には単射でない)

局所化の普遍性

$R ， R^{'}$ を環， $R$ の $S$ による局所化を $S^{- 1} R$ とする． $f : R \to R^{'}$ は準同型写像で，任意の元 $s \in S$ に対して $f (s)$ は $R^{'}$ の可逆元に移されるものとする．このとき準同型写像 $g : S^{- 1} R \to R^{'}$ で， $f = g \circ i$ を満たすものが唯一存在する．
$R i f ↻ S^{- 1} R^{\exists!} g R^{'}$

もしそのような $g$ が存在するならば， $g (r / s) = g ((r / 1) \cdot (s / 1)^{- 1}) = g (i (r)) (g (i (s)))^{- 1} = f (r) (f (s))^{- 1}$ となることから $g$ は $f$ によって一意的に存在する．
次に存在性について． $g (r / s) = f (r) (f (s))^{- 1}$ とすると，これはwell-definedな準同型写像である．なぜなら， $r / s = r^{'} / s^{'} \in S^{- 1} R$ とすると， $(r s^{'} - r^{'} s) c = 0$ となる $c \in S$ が存在する．ゆえに $(f (r) f (s^{'}) - f (r^{'}) f (s)) f (c) = 0$ ． $f (c)$ ， $f (s)$ と $f (s^{'})$ は $R^{'}$ の可逆元なので， $f (r) (f (s))^{- 1} = f (r^{'}) (f (s^{'}))^{- 1}$ ．
さらに $g (i (r)) = g (r / 1) = f (r) (f (1))^{- 1} = f (r)$ から可換性も成り立つ．

$f \in R$ として $S = {f^{n}}_{n \geq 0}$ とすると， $S$ は積閉集合になる．このとき $S^{- 1} R$ を $R_{f}$ と書く．
$R \supset p$ を素イデアルとすると， $S = R ∖ p$ は積閉集合になる．なので $R$ の $S$ による局所化を考えることができ，それを $R_{p}$ と表して $R$ の $p$ による局所化と呼ぶ．
最後に局所化 $R_{p}$ が局所環であることを確かめる．

$R$ は局所環 $⟺$ 非可逆元の全体 $R ∖ R^{\times}$ はイデアルをなす．

( $⟹$ )
$m$ を $R$ の唯一の極大イデアルとする．もし $u \in R^{\times}$ が $u \in m$ であるなら $m ∋ u u^{- 1} = 1$ となり $R = m$ であるが，極大イデアルの定義に反する．したがって， $R ∖ R^{\times} \supset m$ である．一方 $a \in R ∖ R^{\times}$ が生成するイデアル $(a)$ は $R$ と等しくならないため，定理1からイデアル $(a)$ は極大イデアル $m$ に含まれる．すなわち $a \in m$ から $R ∖ R^{\times} \subset m$ が成り立つ．よって $R ∖ R^{\times}$ はイデアルである．
( $⟸$ )
$R ∖ R^{\times}$ を $R$ のイデアルとし，それを $I$ と書くことにする． $1 \notin I$ より $I ⊊ R$ である． $R ⊋ J$ なる任意のイデアル $J$ をとる． $u \in R^{\times}$ が生成するイデアルは $(u) = R$ を満たすので， $J$ は $u$ を含まない．よって $I = R ∖ R^{\times} \supset J$ となる． $J$ は任意にとっていたので $I$ は極大イデアルになり，もし $I$ 以外の極大イデアル $I^{'}$ を持つなら上記の議論から $I \supset I^{'}$ となるため極大イデアルはただ一つである．

$p$ を環 $R$ の素イデアルとすると，局所化 $R_{p}$ は局所環で唯一の極大イデアルは $m = {a / s ∣ a \in p, s \notin p}$ と書ける．

初めに ${a / s ∣ a \in p, s \notin p}$ はイデアルである．次に $R_{p}^{\times} = {a / s ∣ a, s \in R, a, s \notin p}$ であることを示す．
$R_{p}$ において $a / s$ ( $a, s \in R$ ， $s \notin p$ )が可逆元であったとする． $b / t$ がその可逆元だとすると $a b / s t = 1$ となる．よってある $c \in R ∖ p$ が存在して $(a b - s t) c = 0$ となる． $p$ は素イデアルで， $s t c = a b c \notin p$ だから， $a \notin p$ ．よって $R_{p}^{\times} \subset {a / s ∣ a, s \in R, a, s \notin p}$ .
逆に $a \notin p$ ，すなわち $a \in R ∖ p$ なら $a / s$ の逆元は $s / a \in R_{p}$ であるため $R_{p}^{\times} \supset {a / s ∣ a, s \in R, a, s \notin p}$ となり等号が言えた．
${a / s ∣ a, s \in R, a, s \notin p} = {a / s ∣ a \in R, s \in R ∖ p, a \notin p}$ と書き替えてみると， $R_{p} ∖ R_{p}^{\times} = {a / s ∣ a \in p, s \notin p} = m$ となることが分かる．さらに命題3とその証明( $⟸$ )から $m$ は極大イデアルであり， $R_{p}$ は局所環である．