モノイドについて１

集合$S$上の二項演算$S \times S \rightarrow S ; (a, b) \mapsto a \cdot b$が次の結合法則を満たすとき, $(S, \cdot )$を半群という.
\begin{equation} \forall a, b, c \in S \ [ \ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ ] \end{equation}

半群$S$のある元$1 \in S$が次の性質を持つとき, $1$を単位元という.
\begin{equation} \forall a \in S \ [ \ a1 = a = 1a \ ] \end{equation}

半群$(M, \cdot )$が単位元$1 \in M$を持つとき,$(M, \cdot , 1)$をモノイドという.

モノイド$M$の２つの元$a, b \in M$が次の性質を持つとき, $a$を$b$の逆元という.
\begin{equation} ab = 1 = ba \end{equation}

モノイド$G$の全ての元が単元であるとき,$G$を群という.

モノイド$M$に対して, $M^\times=\{a \in M|a \text{は単元}\}$を$M$の単元群という.

半群$S$のある元$z \in S$が次の性質を持つとき, $z$を零元という.
\begin{equation} \forall a \in S \ [ \ az = z = za \ ] \end{equation}

半群$S$のある元$e \in S$が次の性質を持つとき, $e$を冪等元という.
\begin{equation} e=e^2 \end{equation}

２つのモノイド$M, N$について, 写像$\varphi:M\ \rightarrow N$が次の性質を持つとき$\varphi$を（モノイド）準同型という.
\begin{align} &\varphi(1)=1\\ &\forall a,b\in M[\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)] \end{align}

準同型$\varphi:M\ \rightarrow N$に対して, 次の性質を持つ準同型$\psi: N \rightarrow M$が存在するとき$\varphi$を（モノイド）同型という.
\begin{align} &\varphi\circ\psi=\mathrm{id}_N\\ &\psi\circ\varphi=\mathrm{id}_M \end{align}

モノイド$M$上の二項関係$\equiv$が次の４つの性質を満たすとき, $M$上の合同関係という.
\begin{align} &\forall a\in M \ [ \ a \equiv a \ ]\\ &\forall a, b\in M \ [ \ a \equiv b \Rightarrow b \equiv a \ ]\\ &\forall a, b, c\in M \ [ \ a \equiv b, b \equiv c \Rightarrow a \equiv c \ ]\\ &\forall a, b, c, d\in M \ [ \ a \equiv b, c \equiv d \Rightarrow ac \equiv bd \ ]\\ \end{align}

モノイド$M$上の合同関係$\equiv$に対して,次式で定まる$(M/\equiv, \star, [1])$を商モノイドという.
\begin{align} &[a]=\{b \in M | a \equiv b\}\\ &M/\equiv \ =\{[a] | a \in M\}\\ &[a]\star[b]=[a \cdot b] \end{align}

準同型$\varphi:M \rightarrow N$に対して次式で定まる二項関係$\ker\varphi$を$\varphi$の核という.
\begin{align} a \ \ker\varphi \ b \Leftrightarrow \varphi(a)=\varphi(b) \end{align}