モノイドについて１

集合$S$上の二項演算$S\times S\to S;(a,b)\mapsto a\cdot b$が次の結合法則を満たすとき, $(S,\cdot )$を半群という.
$$\mathrm{\forall }a,b,c\in S[(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)]$$

半群$S$のある元$1\in S$が次の性質を持つとき, $1$を単位元という.
$$\mathrm{\forall }a\in S[a1=a=1a]$$

半群$(M,\cdot )$が単位元$1\in M$を持つとき,$(M,\cdot ,1)$をモノイドという.

モノイド$M$の２つの元$a,b\in M$が次の性質を持つとき, $a$を$b$の逆元という.
$$ab=1=ba$$

モノイド$G$の全ての元が単元であるとき,$G$を群という.

モノイド$M$に対して, $M^{\times }=\{a\in M|a\text{は単元}\}$を$M$の単元群という.

半群$S$のある元$z\in S$が次の性質を持つとき, $z$を零元という.
$$\mathrm{\forall }a\in S[az=z=za]$$

半群$S$のある元$e\in S$が次の性質を持つとき, $e$を冪等元という.
$$e=e^2$$

２つのモノイド$M,N$について, 写像$\phi :M\to N$が次の性質を持つとき$\phi$を（モノイド）準同型という.
$$\begin{array}{rl}& \phi (1)=1\\ & \mathrm{\forall }a,b\in M[\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)]\end{array}$$

準同型$\phi :M\to N$に対して, 次の性質を持つ準同型$\psi :N\to M$が存在するとき$\phi$を（モノイド）同型という.
$$\begin{array}{rl}& \phi \circ \psi ={\mathrm{id}}_N\\ & \psi \circ \phi ={\mathrm{id}}_M\end{array}$$

モノイド$M$上の二項関係$\equiv$が次の４つの性質を満たすとき, $M$上の合同関係という.
$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }a\in M[a\equiv a]\\ & \mathrm{\forall }a,b\in M[a\equiv b\Rightarrow b\equiv a]\\ & \mathrm{\forall }a,b,c\in M[a\equiv b,b\equiv c\Rightarrow a\equiv c]\\ & \mathrm{\forall }a,b,c,d\in M[a\equiv b,c\equiv d\Rightarrow ac\equiv bd]\end{array}$$

モノイド$M$上の合同関係$\equiv$に対して,次式で定まる$(M/\equiv ,\star ,[1])$を商モノイドという.
$$\begin{array}{rl}& [a]=\{b\in M|a\equiv b\}\\ & M/\equiv =\{[a]|a\in M\}\\ & [a]\star [b]=[a\cdot b]\end{array}$$

準同型$\phi :M\to N$に対して次式で定まる二項関係$\ker \phi$を$\phi$の核という.
$$\begin{array}{r}a\ker \phi b\iff \phi (a)=\phi (b)\end{array}$$