Terminating 3φ2の漸近挙動
Askey-Wilson多項式は
\begin{align}
p_n(\cos\theta;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q
\end{align}
と定義される.
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;z):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}z
\end{align}
とする.
前の記事
の定理1の証明における等式
\begin{align}
&p_n(\cos\theta;a,b,c,d|q)\\
&=\frac{(abce^{i\theta}q^n,bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,bcq^n,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{2i\theta}q^{n+1},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\\
&\qquad W(bce^{2i\theta}q^n;bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta};adq^n)\\
&\qquad+\frac{(abce^{-i\theta}q^n,bcde^{-i\theta}q^n,be^{-i\theta}q^{n+1},ce^{-i\theta}q^{n+1},ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,bcq^n,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{-2i\theta}q^{n+1},e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\\
&\qquad W(bce^{-2i\theta}q^n;bcq^n,e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta};adq^n)
\end{align}
において, $b=0$とすると,
\begin{align}
&p_n(\cos\theta;a,0,c,d|q)\\
&=\frac{(ce^{i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(acq^n,q^{n+1},cdq^n,e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\Q32{e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,ce^{i\theta}}{e^{2i\theta}q,ce^{i\theta}q^{n+1}}{adq^n}\\
&\qquad+\frac{(ce^{-i\theta}q^{n+1},ae^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(acq^n,q^{n+1},cdq^n,e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\Q32{e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,ce^{-i\theta}}{e^{-2i\theta}q,ce^{-i\theta}q^{n+1}}{adq^n}
\end{align}
を得る. $f(n)\sim g(n)$で$\lim_{n\to\infty}f(n)/g(n)=1$を表すとして, 特に
\begin{align}
&p_n(\cos\theta;a,0,c,d|q)\\
&\sim\frac{(ae^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}+\frac{(ae^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}
\end{align}
を得る. 連続双対$q$-Hahn多項式を$p_n(x;a,b,c|q):=p_n(x;a,b,c,d|q)$としてこれは以下のように表される.
$n\to\infty$において,
\begin{align}
p_n(\cos\theta;a,b,c|q)&\sim\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}+\frac{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}
\end{align}
がなりたつ.
これは
前の記事
で示したAskey-Wilson多項式の漸近挙動において形式的に$d=0$としたものと一致している.
\begin{align}
&p_n(\cos\theta;a,c,d|q)\\
&=\frac{(ce^{i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,q^{n+1},cdq^n,e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\Q32{e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,ce^{i\theta}}{e^{2i\theta}q,ce^{i\theta}q^{n+1}}{adq^n}\\
&\qquad+\frac{(ce^{-i\theta}q^{n+1},ae^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(acq^n,q^{n+1},cdq^n,e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\Q32{e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,ce^{-i\theta}}{e^{-2i\theta}q,ce^{-i\theta}q^{n+1}}{adq^n}
\end{align}
においてさらに$c=0$とすると,
\begin{align}
&p_n(\cos\theta;a,0,d|q)\\
&=\frac{(ae^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q^{n+1},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\Q21{e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d}{e^{2i\theta}q}{adq^n}\\
&\qquad+\frac{(ae^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(q^{n+1},e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\Q21{e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d}{e^{-2i\theta}q}{adq^n}
\end{align}
となる. Al-Salam-Chihara多項式を$p_n(x;a,b|q):=p_n(x;a,b,0)$として同様に以下を得る.
$n\to\infty$において,
\begin{align}
p_n(\cos\theta;a,b)\sim\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}+\frac{(ae^{i\theta},be^{i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}
\end{align}
が成り立つ.
Terminating${}_3\phi_2$の漸近挙動
連続双対$q$-Hahn多項式は, 定義から
\begin{align}
p_n(x;a,b,c|q)=a^{-n}(ab,ac;q)_n\Q32{q^{-n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac}q
\end{align}
と表されるので, 定理1は
\begin{align}
a^{-n}(ab,ac;q)_n\Q32{q^{-n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac}q&\sim\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}+\frac{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\Q32{q^{-n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac}q&\sim\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ab,ac,e^{-2i\theta};q)_{\infty}}(ae^{i\theta})^n+\frac{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta};q)_{\infty}}{(ab,ac,e^{2i\theta};q)_{\infty}}(ae^{-i\theta})^n
\end{align}
を得る. よって変数を置き換えると以下の漸近挙動が得られる.
$n\to\infty$において,
\begin{align}
\Q32{q^{-n},a,b}{c,d}q\sim\frac{(b,c/a,d/a;q)_{\infty}}{(c,d,b/a;q)_{\infty}}a^n+\frac{(a,c/b,d/b;q)_{\infty}}{(c,d,a/b;q)_{\infty}}b^n
\end{align}
が成り立つ.
これはterminating${}_3\phi_2$の漸近挙動である. 類似として
\begin{align}
\Q32{q^{-n},aq^n,b}{c,d}q
\end{align}
の$n\to\infty$における漸近挙動も気になるところではあるが, それを最初の式
\begin{align}
&p_n(\cos\theta;a,b,c,d|q)\\
&=\frac{(abce^{i\theta}q^n,bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,bcq^n,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{2i\theta}q^{n+1},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\\
&\qquad W(bce^{2i\theta}q^n;bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta};adq^n)\\
&\qquad+\frac{(abce^{-i\theta}q^n,bcde^{-i\theta}q^n,be^{-i\theta}q^{n+1},ce^{-i\theta}q^{n+1},ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,bcq^n,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{-2i\theta}q^{n+1},e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\\
&\qquad W(bce^{-2i\theta}q^n;bcq^n,e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta};adq^n)
\end{align}
から得るのは難しそうである. しかし, Ismail-Wilsonの1982年の論文において別の方法により
\begin{align}
\Q32{q^{-n},aq^n,b}{c,d}q\sim\frac{(c/b,d/b;q)_{\infty}}{(c,d;q)_{\infty}}b^n
\end{align}
が示されているようである.
