Askey-Wilson多項式の漸近挙動

Ismail-WilsonによるAskey-Wilson多項式の母関数
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{p_n(\cos\theta,a,b,c,d|q)}{(ab,cd,q;q)_n}t^n&=\Q21{ae^{-i\theta},be^{-i\theta}}{ab}{te^{i\theta}}\Q21{ce^{i\theta},de^{i\theta}}{cd}{te^{-i\theta}} \end{align}
の係数を比較した等式より, $|e^{i\theta}|=1$のとき, $m:=\lfloor\frac n2\rfloor$として,
\begin{align} &p_n(\cos\theta,a,b,c,d|q)\\ &=(ab,cd,q;q)_n\sum_{k=0}^n\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta};q)_k}{(q,ab;q)_k}e^{ik\theta}\frac{(ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{n-k}}{(q,cd;q)_{n-k}}e^{i(k-n)\theta}\\ &=(ab,cd,q;q)_n\left(\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta};q)_k}{(q,ab;q)_k}e^{ik\theta}\frac{(ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{n-k}}{(q,cd;q)_{n-k}}e^{i(k-n)\theta}+\sum_{k=0}^{n-m}\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta};q)_{n-k}}{(q,ab;q)_{n-k}}e^{i(n-k)\theta}\frac{(ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_k}{(q,cd;q)_k}e^{-ik\theta}\right)\\ &\sim (ab,cd,q;q)_{\infty}\left(e^{-in\theta}\frac{(ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(q,cd;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta};q)_k}{(q,ab;q)_k}e^{2ik\theta}+e^{in\theta}\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,ab;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_k}{(q,cd;q)_k}e^{-2ik\theta}\right) \end{align}
ここで, Heineの和公式 より
\begin{align} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta};q)_k}{(q,ab;q)_k}e^{2ik\theta}&=\frac{(ae^{i\theta},be^{i\theta};q)_{\infty}}{(ab,e^{2i\theta};q)_{\infty}}\\ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_k}{(q,cd;q)_k}e^{-2ik\theta}&=\frac{(ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(cd,e^{-2i\theta};q)_{\infty}} \end{align}
であるからこれを代入して定理を得る. $|e^{i\theta}|\neq 1$のときは, 上のように2つに分けた項の片方が$0$に収束するので全く同様に示される.

まず, Watsonの変換公式 より
\begin{align} &p_n(\cos\theta;a,b,c,d|q)\\ &=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q\\ &=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\frac{(e^{i\theta}q^{1-n}/d,bc;q)_n}{(abce^{i\theta},q^{1-n}/ad;q)_n} W(abce^{i\theta}/q;ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},abcdq^{n-1},q^{-n};e^{-i\theta}q/d)\\ &=\frac{(ab,ac,bc,de^{-i\theta};q)_n}{(abce^{i\theta};q)_n} W(abce^{i\theta}/q;ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},abcdq^{n-1},q^{-n};e^{-i\theta}q/d)\\ \end{align}
である. ここで, Baileyの3項変換公式
\begin{align} &W\left(a;b,c,d,e,f;\frac{a^2q^2}{bcdef}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef,eq/c,fq/c,b/a,bef/a;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def,q/c,efq/c,be/a,bf/a;q)_{\infty}}W\left(ef/c;aq/bc,aq/cd,ef/a,e,f;\frac{bd}a\right)\\ &\qquad +\frac{(aq,bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,d,e,f,aq/bc,bdef/a^2q,a^2q^2/bdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bd/a,be/a,bf/a,def/aq,aq^2/def,q/c,b^2q/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot\,W\left(b^2/a;b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a;\frac{a^2q^2}{bcdef}\right) \end{align}
において, $a,b,c,d,e,f$を$bce^{2i\theta}q^n,bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta}$とすると,
\begin{align} &W(bce^{2i\theta}q^n;bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta};adq^n)\\ &=\frac{(bce^{2i\theta}q^{n+1},q^{n+1},bdq^n,cdq^n,ab,ac,e^{-2i\theta},bc;q)_{\infty}}{(bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},de^{-i\theta}q^n,ae^{-i\theta},abce^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}W(abce^{i\theta}/q;ae^{i\theta},abcdq^{n-1},q^{-n},be^{i\theta},ce^{i\theta};e^{-i\theta}q/d)\\ &\qquad+\frac{(bce^{2i\theta}q^{n+1},e^{-2i\theta}q,abce^{-i\theta}q^n,bcde^{-i\theta}q^n,be^{-i\theta}q^{n+1},ce^{-i\theta}q^{n+1},e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta},ae^{i\theta},e^{-i\theta}q^{-n}/d,de^{i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta}q,abce^{i\theta}q^n,bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta},e^{i\theta}q^{-n}/d,de^{-i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},bce^{-2i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bce^{-2i\theta}q^n;bcq^n,e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta};adq^n) \end{align}
となるから,
\begin{align} &W(abce^{i\theta}/q;ae^{i\theta},abcdq^{n-1},q^{-n},be^{i\theta},ce^{i\theta};e^{-i\theta}q/d)\\ &=\frac{(bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},de^{-i\theta}q^n,ae^{-i\theta},abce^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}{(bce^{2i\theta}q^{n+1},q^{n+1},bdq^n,cdq^n,ab,ac,e^{-2i\theta},bc;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bce^{2i\theta}q^n;bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta};adq^n)\\ &\qquad-\frac{(bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},de^{-i\theta}q^n,ae^{-i\theta},abce^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta};q)_{\infty}}{(bce^{2i\theta}q^{n+1},q^{n+1},bdq^n,cdq^n,ab,ac,e^{-2i\theta},bc;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(bce^{2i\theta}q^{n+1},e^{-2i\theta}q,abce^{-i\theta}q^n,bcde^{-i\theta}q^n,be^{-i\theta}q^{n+1},ce^{-i\theta}q^{n+1},e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta},ae^{i\theta},e^{-i\theta}q^{-n}/d,de^{i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta}q,abce^{i\theta}q^n,bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta},e^{i\theta}q^{-n}/d,de^{-i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},bce^{-2i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bce^{-2i\theta}q^n;bcq^n,e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta};adq^n)\\ &=\frac{(abce^{i\theta},bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta}q^n;q)_{\infty}}{(ab,ac,bc,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{2i\theta}q^{n+1},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bce^{2i\theta}q^n;bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta};adq^n)\\ &\qquad-\frac{(de^{-i\theta}q^n,abce^{i\theta};q)_{\infty}}{(q^{n+1},bdq^n,cdq^n,ab,ac,e^{-2i\theta},bc;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(e^{-2i\theta}q,abce^{-i\theta}q^n,bcde^{-i\theta}q^n,be^{-i\theta}q^{n+1},ce^{-i\theta}q^{n+1},e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta},ae^{i\theta},e^{-i\theta}q^{-n}/d,de^{i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta}q,abce^{i\theta}q^n,e^{-i\theta}q/d,e^{i\theta}q^{-n}/d,de^{-i\theta}q^{n+1},bce^{-2i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bce^{-2i\theta}q^n;bcq^n,e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta};adq^n)\\ &=\frac{(abce^{i\theta}q^n,bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ab,ac,bc,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{2i\theta}q^{n+1},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\frac{(abce^{i\theta};q)_n}{(de^{-i\theta};q)_n}\\ &\qquad\cdot W(bce^{2i\theta}q^n;bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta};adq^n)\\ &\qquad+\frac{(abce^{-i\theta}q^n,bcde^{-i\theta}q^n,be^{-i\theta}q^{n+1},ce^{-i\theta}q^{n+1},ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(ab,ac,bc,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{-2i\theta}q^{n+1},e^{2i\theta};q)_{\infty}}\frac{(abce^{i\theta};q)_n}{(de^{-i\theta};q)_n}e^{-2in\theta}\\ &\qquad\cdot W(bce^{-2i\theta}q^n;bcq^n,e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta};adq^n) \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &p_n(\cos\theta;a,b,c,d|q)\\ &=\frac{(abce^{i\theta}q^n,bcde^{i\theta}q^n,be^{i\theta}q^{n+1},ce^{i\theta}q^{n+1},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,bcq^n,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{2i\theta}q^{n+1},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\\ &\qquad\cdot W(bce^{2i\theta}q^n;bcq^n,e^{i\theta}q/a,e^{i\theta}q/d,be^{i\theta},ce^{i\theta};adq^n)\\ &\qquad+\frac{(abce^{-i\theta}q^n,bcde^{-i\theta}q^n,be^{-i\theta}q^{n+1},ce^{-i\theta}q^{n+1},ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(abq^n,acq^n,bcq^n,q^{n+1},bdq^n,cdq^n,bce^{-2i\theta}q^{n+1},e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\\ &\qquad\cdot W(bce^{-2i\theta}q^n;bcq^n,e^{-i\theta}q/a,e^{-i\theta}q/d,be^{-i\theta},ce^{-i\theta};adq^n)\\ &\sim e^{in\theta}\frac{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}+e^{-in\theta}\frac{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}} \end{align}
となって示すべき等式が得られた.