Ismail-WilsonによるAskey-Wilson多項式の母関数
Askey-Wilson多項式
を
\begin{align}
p_n(\cos\theta)=p_n(\cos\theta;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}
\end{align}
とする. このとき, 以下のような母関数が知られている.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{p_n(\cos\theta)t^n}{(ab,cd,q;q)_n}&=\Q21{ae^{-i\theta},be^{-i\theta}}{ab}{te^{i\theta}}\Q21{ce^{i\theta},de^{i\theta}}{cd}{te^{-i\theta}} \end{align}
$z=e^{i\theta}$とする.
Searsの変換公式
\begin{align}
\Q43{a,b,c,q^{-n}}{d,e,f}q&=\frac{(e/a,f/a;q)_n}{(e,f;q)_n}a^n\Q43{a,d/b,d/c,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e,aq^{1-n}/f}q\qquad abcq^{1-n}=def
\end{align}
より,
\begin{align}
p_n(\cos\theta)&=(ab,ac,ad;q)_nz^{-n}\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},az,a/z}{ab,ac,ad}q\\
&=(ab,ac,ad;q)_nz^{-n}\frac{(cz,dz;q)_n}{(ac,ad;q)_n}\Q43{q^{-n},a/z,q^{1-n}/cd,b/z}{ab,q^{1-n}/cz,q^{1-n}/dz}q\\
&=(ab,cd,q;q)_n\sum_{k=0}^n\frac{(a/z,b/z;q)_k}{(q,ab;q)_k}z^k\frac{(cz,dz;q)_{n-k}}{(q,cd;q)_{n-k}}z^{k-n}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{p_n(\cos\theta)t^n}{(ab,cd,q;q)_n}&=\sum_{0\leq n}t^n\sum_{k=0}^n\frac{(a/z,b/z;q)_k}{(q,ab;q)_k}z^k\frac{(cz,dz;q)_{n-k}}{(q,cd;q)_{n-k}}z^{k-n}\\
&=\Q21{a/z,b/z}{ab}{zt}\Q21{cz,dz}{cd}{t/z}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
古典極限
Askey-Wilson多項式の古典的な場合であるWilson多項式
\begin{align}
W_n(x^2):=(a+b,a+c,a+d)_n\F43{-n,a+b+c+d+n-1,a+ix,a-ix}{a+b,a+c,a+d}{1}
\end{align}
について, 定理1の古典極限を考えることによって
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{W_n(x^2)t^n}{(a+b,c+d)_nn!}&=\F21{a-ix,b-ix}{a+b}{t}\F21{c+ix,d+ix}{c+d}{t}
\end{align}
を得る. Wilson多項式には
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a+b+c+d-1)_n}{n!(a+b,a+c,a+d)_n}W_n(x^2)t^n&=(1-t)^{1-a-b-c-d}\F43{\frac{a+b+c+d-1}2,\frac{a+b+c+d}2,a+ix,a-ix}{a+b,a+c,a+d}{-\frac{4t}{(1-t)^2}}
\end{align}
という形の母関数も知られているが, この$q$類似はRahmanによって示されているようである.
