科学大数学系院試過去問解答例(2020午前04)

$f$が同型でないとする。ここで
$$f(x)=0$$
を満たす$x\ne 0$及び$y\in \mathrm{Im}f$なる$y\ne 0$をとる。ここで$y$を含む基底$\{y,y_1,\cdots ,y_n\}$に対して$g$を
$$g(y)=x$$
$$g(y_i)=0$$
になるようにとる。このとき$f(z)=y$なる$z\in V$に対して$gf(z)=x$であるから特に
$$\mathrm{rank}(fg)=0<\mathrm{rank}(gf)$$
である。よって(i)が成り立たないなら(ii)も成り立たない。
次に$f$が同型であったとする。このとき任意の$g\in \mathrm{End}(V)$に対して
$$\mathrm{rank}(fg)=\mathrm{rank}(g)=\mathrm{rank}(gf)$$
であるから、(i)が成り立つとき(ii)も成り立つ。
以上から(i)(ii)は同値である。